Cómo resolver ecuaciones de segundo grado: factorización, completar el cuadrado y la fórmula general

Qué hace que una ecuación sea de segundo grado

Una ecuación de segundo grado puede escribirse como $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$. La mayor potencia de la incógnita es 2, así que hay como máximo dos soluciones, llamadas raíces. Antes de aplicar cualquier método, pasa todos los términos a un miembro para que el otro sea cero. No es opcional: tanto la propiedad del producto nulo como la fórmula general dependen de ello.

Por ejemplo, $x^2 = 3x + 10$ se convierte en $x^2 - 3x - 10 = 0$, así que $a = 1$, $b = -3$ y $c = -10$. Anotar los tres coeficientes, con sus signos, antes de empezar es la forma más sencilla de evitar errores de signo más adelante.

Gráficamente, las raíces son los cortes con el eje x de la parábola $y = ax^2 + bx + c$. Una parábola puede cortar el eje x dos veces, tocarlo una vez en su vértice o no tocarlo en absoluto, y por eso una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna raíz real.

Casos rápidos: sin término en x o sin término independiente

Hay dos formas especiales que no necesitan ningún método general.

• Si $b = 0$, despeja $x^2$ y calcula las raíces cuadradas sin olvidar los dos signos: $x^2 = 49$ da $x = \pm 7$, y $4x^2 - 9 = 0$ da $x^2 = \frac{9}{4}$, así que $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Si $c = 0$, saca factor común $x$: $x^2 - 5x = 0$ se convierte en $x(x - 5) = 0$, así que $x = 0$ o $x = 5$.

Nunca dividas los dos miembros de $x^2 - 5x = 0$ entre $x$. Al hacerlo pierdes la raíz $x = 0$, porque estarías dividiendo entre cero cuando $x = 0$.

Método 1: factorización

Si la expresión de segundo grado se descompone en dos factores lineales, la propiedad del producto nulo termina el trabajo: si $pq = 0$, entonces $p = 0$ o $q = 0$. Cuando $a = 1$, busca dos números cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$.

Aquí $-5$ y $2$ dan $-10$ al multiplicarlos y $-3$ al sumarlos. Cuando $a \neq 1$, el método AC amplía esa misma búsqueda.

La factorización es rápida, pero solo resulta práctica cuando las raíces son racionales. Una prueba útil: con coeficientes enteros, la expresión se factoriza en los enteros exactamente cuando el discriminante $b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto. Para $6x^2 + x - 2$ vale $1 + 48 = 49 = 7^2$. Encontrarás más práctica en la guía para factorizar polinomios.

Método 2: completar el cuadrado

Completar el cuadrado reescribe el miembro izquierdo como un cuadrado perfecto más una constante. Toma $x^2 + 6x - 7 = 0$. Pasa la constante al otro miembro y después suma $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ a los dos miembros:

Así, $x = 1$ o $x = -7$. Los mismos pasos dan la forma canónica $y = (x + 3)^2 - 16$, que sitúa el vértice de la parábola en $(-3, -16)$. El método completo, incluido el caso $a \neq 1$, está en nuestra guía para completar el cuadrado.

Método 3: la fórmula general

Completar el cuadrado en la ecuación general $ax^2 + bx + c = 0$ da una fórmula que sirve para cualquier ecuación de segundo grado:

Mantén todo el numerador sobre $2a$. Escribir $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ es uno de los errores más frecuentes de este tema.

Cómo interpretar el discriminante

La expresión que hay bajo la raíz cuadrada, $\Delta = b^2 - 4ac$, anticipa el tipo de respuesta antes de que termines:

• $\Delta > 0$: dos raíces reales distintas; la parábola corta el eje x dos veces.
• $\Delta = 0$: una raíz doble; el vértice toca el eje x. Ejemplo: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ tiene la única raíz $x = 3$.
• $\Delta < 0$: ninguna raíz real, pero sí dos raíces complejas conjugadas. Ejemplo: $x^2 + 2x + 5 = 0$ tiene $\Delta = 4 - 20 = -16$, así que $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Un problema de enunciado: la altura de un proyectil

Las ecuaciones de segundo grado modelan todo lo que sube y baja con aceleración constante. Supón que la altura de una pelota en metros al cabo de $t$ segundos es $h = -5t^2 + 20t + 25$ (tomando $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Descartar una raíz que no tiene sentido en el contexto forma parte de la respuesta, no es un detalle secundario.

¿Qué método conviene usar?

1. Si $b = 0$ o $c = 0$, usa los casos rápidos anteriores.
2. Prueba a factorizar si los coeficientes son enteros pequeños y el discriminante es un cuadrado perfecto.
3. Completa el cuadrado cuando también necesites el vértice o la forma canónica.
4. Usa la fórmula general en cualquier otro caso; nunca falla.

Elijas el método que elijas, comprueba las raíces con las fórmulas de Cardano-Vieta: su suma debe ser $-\frac{b}{a}$ y su producto $\frac{c}{a}$. Para $6x^2 + x - 2 = 0$, las raíces $\frac{1}{2}$ y $-\frac{2}{3}$ suman $-\frac{1}{6}$ y su producto es $-\frac{1}{3}$, exactamente $-\frac{b}{a}$ y $\frac{c}{a}$.

Errores frecuentes

• Resolver $x^2 = 3x + 10$ sin pasar antes todos los términos a un mismo miembro.
• Tomar solo la raíz cuadrada positiva, de modo que $x^2 = 49$ pierde $x = -7$.
• Elevar mal al cuadrado un $b$ negativo: si $b = -3$, entonces $b^2 = 9$, no $-9$. Usa paréntesis al sustituir.
• Dividir entre $2a$ solo una parte del numerador.
• Igualar cada factor al valor equivocado: en $(x - 5)(x + 2) = 0$ las raíces son $5$ y $-2$, con el signo contrario al de los números de los paréntesis.

Compara tu desarrollo con la calculadora de ecuaciones de segundo grado y representa la parábola en la calculadora gráfica para ver las raíces como cortes con el eje x.

Cómo elegir el método en la práctica

Los estudiantes suelen preguntar cuál es el método correcto. Todos los métodos correctos dan las mismas raíces, así que la verdadera pregunta es cuál es el más rápido y el que menos se presta a errores para la ecuación que tienes delante. Una rutina de decisión rápida funciona bien. Primero, busca un término que falte: si no hay término independiente, saca factor común $x$; si no hay término en $x$, despeja $x^2$ y calcula las raíces cuadradas. Segundo, dedica unos quince segundos a buscar factores enteros. Tercero, si no aparece nada, pasa directamente a la fórmula general en lugar de probar más parejas de factores.

Completar el cuadrado es mejor opción cuando el ejercicio también pide el vértice, cuando el coeficiente de $x$ es par y el coeficiente principal es 1, o cuando te piden expresamente que lo uses. La representación gráfica es excelente para estimar las raíces y comprobar el número de soluciones reales, pero lo que se lee en una gráfica es aproximado, así que úsalo como comprobación y no como respuesta final, salvo que las raíces sean claramente enteras.

En un examen con tiempo limitado, calcula primero el discriminante. Si es un cuadrado perfecto, la ecuación se factoriza en los enteros o en los racionales; si es negativo, sabes al instante que no hay raíces reales.

Cómo comprobar las raíces

La sustitución es la comprobación más fiable: introduce cada raíz en la ecuación original y confirma que el miembro izquierdo vale cero. Con raíces irracionales esto resulta pesado a mano, así que usa en su lugar la suma y el producto de las raíces. Para $2x^2 + 4x - 3 = 0$, las raíces $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ suman $-2$, que es igual a $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, y su producto es $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, que es igual a $\frac{c}{a}$. Las dos cosas coinciden, así que las raíces son correctas.

Comprueba también que la respuesta tiene sentido en el contexto. En el ejemplo del proyectil, una de las raíces de la ecuación era negativa, y un tiempo negativo, anterior al lanzamiento, no tiene significado físico, así que solo la raíz positiva responde a la pregunta. En los problemas de enunciado sobre longitudes, precios o cantidades se suele descartar una raíz por el mismo motivo, y merece la pena escribir una frase que explique por qué.

Puedes comparar cada paso con la calculadora de ecuaciones de segundo grado, que muestra el discriminante, las raíces exactas y el vértice.

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