Funciones polinómicas: grado, comportamiento en los extremos, raíces y gráficas

Qué hace que una función sea polinómica

Una función polinómica es una suma de términos, cada uno de ellos una constante multiplicada por una potencia de $x$ con exponente natural:

La mayor potencia $n$ es el grado, el coeficiente $a_n$ que la acompaña es el coeficiente principal y $a_0$ es el término independiente, que es también la ordenada en el origen. El grado 1 da rectas, el grado 2 da parábolas, el grado 3 da funciones cúbicas y el grado 4 da funciones cuárticas. Las expresiones con potencias negativas o fraccionarias, como $\frac{1}{x}$ o $\sqrt{x}$, o con variables en denominadores o exponentes, no son polinomios.

Los polinomios están definidos para todo número real y sus gráficas son curvas suaves y continuas, sin picos, huecos ni asíntotas. Esa es una de las razones por las que se usan tanto para modelizar y aproximar otras funciones.

El comportamiento en los extremos según el término principal

Para valores de $x$ muy grandes, positivos o negativos, el término principal domina a todos los demás, así que los extremos de la gráfica se comportan como $a_n x^n$. Solo importan dos datos: si el grado es par o impar y si el coeficiente principal es positivo o negativo.

• Grado par y coeficiente principal positivo: los dos extremos suben, como en $x^2$.
• Grado par y coeficiente principal negativo: los dos extremos bajan, como en $-x^2$.
• Grado impar y coeficiente principal positivo: baja por la izquierda y sube por la derecha, como en $x^3$.
• Grado impar y coeficiente principal negativo: sube por la izquierda y baja por la derecha, como en $-x^3$.

Por ejemplo, $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ tiene grado impar y coeficiente principal negativo, así que sube hacia la izquierda y baja hacia la derecha, por grandes que parezcan los demás coeficientes. Por tanto, un polinomio de grado impar debe cortar el eje x al menos una vez, porque sus dos extremos apuntan en sentidos opuestos.

Raíces, factores y multiplicidad

Una raíz o cero de $p$ es un valor $c$ tal que $p(c) = 0$. Las raíces son los puntos de corte de la gráfica con el eje x, y cada raíz real $c$ corresponde a un factor $(x - c)$. Por eso la factorización es la herramienta principal para hallar raíces, gracias a la propiedad del producto nulo: un producto vale cero solo si alguno de sus factores vale cero.

Si un factor se repite, la raíz tiene multiplicidad mayor que uno, y la gráfica se comporta de otro modo en ese punto. En una raíz de multiplicidad impar la gráfica atraviesa el eje; en una raíz de multiplicidad par lo toca y da la vuelta. Cuanto mayor es la multiplicidad, más plana es la gráfica cerca de la raíz.

Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces reales y como máximo $n - 1$ extremos relativos, es decir, los máximos y mínimos de su gráfica. Una cúbica puede tener uno o dos de estos extremos relativos, o ninguno, como muestra $x^3$. Los métodos para encontrar factores se tratan con detalle en la guía sobre factorización de polinomios.

Los teoremas del resto y del factor

Al dividir un polinomio $p(x)$ entre $(x - c)$ queda un resto que es solo un número, y el teorema del resto afirma que ese número es $p(c)$. El teorema del factor se deduce de inmediato: $(x - c)$ es un factor exactamente cuando $p(c) = 0$.

En cambio, $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$, así que al dividir $p(x)$ entre $(x - 2)$ quedaría un resto de $-4$, y $(x - 2)$ no es un factor.

La regla de Ruffini

La regla de Ruffini, o división sintética, es una forma compacta de dividir entre $(x - c)$ usando solo los coeficientes. Para el ejemplo 3, escribe $c = 1$ y los coeficientes $1, -2, -5, 6$.

1. Baja el primer coeficiente: 1.
2. Multiplícalo por $c$ y súmalo al coeficiente siguiente: $1 \times 1 = 1$, y $-2 + 1 = -1$.
3. Repite: $-1 \times 1 = -1$, y $-5 + (-1) = -6$.
4. Repite: $-6 \times 1 = -6$, y $6 + (-6) = 0$.
5. El último número, 0, es el resto. Los demás, $1, -1, -6$, son los coeficientes del cociente: $x^2 - x - 6$.

Cada potencia de $x$ necesita su hueco, así que escribe 0 para cualquier término que falte. Al dividir $x^3 - 8$ entre $(x - 2)$ se usan los coeficientes $1, 0, 0, -8$ y se obtiene el cociente $x^2 + 2x + 4$ con resto 0.

La regla de Ruffini solo sirve para divisores de la forma $x - c$. Para dividir entre $2x - 1$, divide entre $x - \frac{1}{2}$ y luego divide el cociente entre 2, o usa la división larga.

Cuántas raíces hay: el teorema fundamental

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado $n \ge 1$ tiene exactamente $n$ raíces complejas si cada una se cuenta tantas veces como indica su multiplicidad. Algunas pueden ser reales y otras complejas. Cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas aparecen en parejas conjugadas, así que si $2 + 3i$ es raíz, también lo es $2 - 3i$.

Eso explica por qué una cúbica con coeficientes reales tiene siempre al menos una raíz real: sus tres raíces no pueden ser todas complejas, ya que las complejas llegan por parejas. Una cuártica, en cambio, puede no tener raíces reales, como muestra $x^4 + 1$.

Cuando una raíz no puede hallarse exactamente, el teorema de Bolzano ayuda a localizarla. Para $p(x) = x^3 + x - 1$, $p(0) = -1$ y $p(1) = 1$. Como las gráficas de los polinomios no tienen huecos, la gráfica debe cortar el eje en algún punto entre 0 y 1; numéricamente, la raíz vale aproximadamente $0.6823$.

Construir un polinomio a partir de sus raíces

Recorriendo el camino inverso, las raíces determinan un polinomio salvo un factor constante. Supón que una función cuadrática tiene raíces 2 y $-1$ y pasa por $(0, 4)$. Debe ser $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. Al sustituir el punto se obtiene $4 = a(-2)(1)$, así que $a = -2$ y $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Desarrollar y comprobar que $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ y $f(-1) = 0$ confirma el resultado.

Esbozar la gráfica de un polinomio

1. Halla el grado y el coeficiente principal para fijar el comportamiento en los extremos.
2. Factoriza para hallar las raíces y sus multiplicidades.
3. Marca la ordenada en el origen, que es el término independiente.
4. Decide en cada raíz si la gráfica atraviesa o toca el eje según su multiplicidad.
5. Une los puntos con una curva suave que respete el comportamiento en los extremos y tenga como máximo $n - 1$ máximos y mínimos relativos.

Así se obtiene una forma precisa, aunque no las alturas exactas de los máximos y mínimos, que requieren cálculo. Comparar tu esbozo con la calculadora gráfica es una buena forma de ganar confianza.

Una aplicación: la caja abierta más grande

De una cartulina de 10 por 16 centímetros se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y se doblan los bordes hacia arriba para formar una caja abierta. Su volumen es $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Como todas las longitudes deben ser positivas, el dominio realista es $0 < x < 5$.

Las raíces 0, 5 y 8 indican dónde el volumen se anula. Entre ellas, el volumen sube y baja, y el cálculo localiza el máximo: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, que vale cero en $x = 2$, dentro del dominio. La caja más grande tiene un volumen de $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ centímetros cúbicos. La guía de reglas de derivación muestra cómo se calculan estas derivadas.

Errores frecuentes

• Deducir el comportamiento en los extremos a partir del primer término escrito en lugar del término de mayor grado.
• Omitir los coeficientes nulos de las potencias que faltan en la regla de Ruffini.
• Suponer que la gráfica atraviesa el eje en todas las raíces, sin tener en cuenta la multiplicidad par.
• Afirmar que hay más de $n - 1$ máximos y mínimos relativos.
• Confundir la raíz $c$ con el signo del factor: la raíz 3 da el factor $(x - 3)$.

La calculadora de polinomios halla raíces, factoriza y divide polinomios mostrando cada paso, así que puedes comprobar con ella los ejemplos anteriores.

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