Logaritmos explicados: definición, propiedades y resolución de ecuaciones

Qué es un logaritmo

Las potencias y los logaritmos son dos formas de describir la misma relación. La igualdad $2^3 = 8$ dice que al elevar 2 a la potencia 3 se obtiene 8. El logaritmo da la vuelta a la pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar 2 para obtener 8? La respuesta es 3, y se escribe $\log_2 8 = 3$.

El número $b$ es la base, $x$ es el argumento e $y$ es el exponente que buscas. Las condiciones importan. La base debe ser positiva y distinta de 1, porque las potencias de 1 valen siempre 1 y las potencias de números negativos no están definidas para todo exponente real. El argumento debe ser positivo, porque una base positiva elevada a cualquier potencia real da un resultado positivo.

• $\log_{10} 1000 = 3$, porque $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, porque $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, porque $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ para cualquier base permitida, porque $b^0 = 1$, y $\log_b b = 1$ porque $b^1 = b$.

Dos bases tienen notación propia. El logaritmo decimal $\log x$ usa la base 10, adecuada para medidas expresadas en potencias de diez. El logaritmo neperiano o natural $\ln x$ usa la base $e \approx 2.71828$, que aparece de forma natural en el crecimiento, el decrecimiento y el cálculo. Algunos libros y lenguajes de programación escriben $\log$ para el logaritmo natural, así que comprueba la convención de tu curso.

Las tres propiedades de los logaritmos

Como los logaritmos son exponentes, las reglas de las potencias se traducen directamente en reglas de los logaritmos. Para $M$ y $N$ positivos y cualquier base permitida:

La propiedad del producto procede de $b^m b^n = b^{m+n}$: al multiplicar números se suman sus exponentes, y por tanto sus logaritmos. La propiedad del cociente procede de la división de potencias, y la de la potencia, de $(b^m)^k = b^{mk}$. Antes de las calculadoras, precisamente por eso se usaban las tablas de logaritmos: convertían multiplicaciones difíciles en sumas.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, y en efecto $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Desarrollar y agrupar expresiones

Desarrollar consiste en usar las propiedades para separar un logaritmo en partes más sencillas; agrupar consiste en reunir varios en uno solo. Las dos tareas son habituales en los exámenes y las dos hacen falta para resolver ecuaciones.

Los coeficientes deben convertirse en exponentes antes de agrupar. $2\ln x + \ln y$ es $\ln(x^2 y)$, no $\ln(2xy)$.

Cambio de base

Las calculadoras suelen tener teclas solo para $\log$ y $\ln$. Cualquier otra base se resuelve con la fórmula del cambio de base, que funciona con cualquier base nueva $c$:

Por ejemplo, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Una comprobación de sentido común ayuda: $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$, así que el resultado debe estar entre 3 y 4. La fórmula también muestra que $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, así que $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ porque $\log_2 8 = 3$.

Resolver ecuaciones exponenciales

Cuando la incógnita está en un exponente, aísla la potencia y luego toma logaritmos en los dos miembros para que la propiedad de la potencia baje el exponente.

Un error frecuente en el ejemplo 2 es tomar logaritmos antes de dividir entre 5. No es incorrecto, pero se obtiene $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$, que cuesta más resolver. Aislar primero la potencia mantiene el desarrollo breve.

Resolver ecuaciones logarítmicas

Cuando la incógnita está dentro de un logaritmo, agrupa los logaritmos en uno solo y reescribe la ecuación en forma exponencial. Como los logaritmos de cero y de números negativos no están definidos, hay que comprobar cada posible solución en la ecuación original.

El álgebra del ejemplo 3 dio lugar a una ecuación de segundo grado. Si necesitas repasar cómo se resuelve, consulta cómo resolver ecuaciones de segundo grado.

La gráfica de un logaritmo

La función $y = \log_b x$ es la inversa de $y = b^x$, así que su gráfica es la simétrica de la gráfica exponencial respecto de la recta $y = x$. Para $b > 1$ pasa por $(1, 0)$ y $(b, 1)$, crece lentamente sin límite y se acerca al eje y, que es una asíntota vertical. Su dominio es $(0, \infty)$ y su recorrido son todos los números reales, justo al revés que el dominio y el recorrido de la función exponencial.

Las traslaciones cambian el dominio. En $y = \ln(x - 3)$ el argumento debe ser positivo, así que el dominio es $(3, \infty)$ y la asíntota se desplaza a $x = 3$. El cálculo de estos dominios se explica en la guía sobre dominio y recorrido, y la relación con las exponenciales se desarrolla en funciones inversas. Puedes representar varias bases a la vez con la calculadora gráfica.

Dónde se usan los logaritmos

• Crecimiento compuesto: una cantidad que crece un 5 por ciento al año se duplica cuando $1.05^t = 2$, así que $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ años.
• Química: el pH es $-\log[\mathrm{H}^+]$, así que una concentración de iones hidrógeno de $10^{-3}$ moles por litro da un pH de 3, y cada unidad de pH supone un factor de diez.
• Sonido: el nivel en decibelios es $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$, así que un sonido 100 veces más intenso suena 20 decibelios más fuerte.
• Informática: la búsqueda binaria entre $n$ elementos necesita unos $\log_2 n$ pasos, así que un millón de elementos requieren solo unos 20.

Los cuatro casos comparten la misma característica: los logaritmos comprimen magnitudes que abarcan muchas potencias de diez en una escala manejable y convierten los cambios multiplicativos en cambios aditivos.

Errores frecuentes

• Escribir $\log(a + b) = \log a + \log b$. La propiedad del producto trata de productos, y no existe ninguna regla para el logaritmo de una suma.
• Escribir $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. El miembro izquierdo es un cambio de base, $\log_b a$.
• Confundir $(\log x)^2$ con $\log x^2 = 2\log x$.
• No comprobar las soluciones de las ecuaciones logarítmicas, con lo que se cuela una respuesta que hace negativo algún argumento.
• Confundir $\log$ y $\ln$ en la calculadora.

La calculadora de logaritmos evalúa cualquier base y muestra el paso del cambio de base, lo que la convierte en una forma rápida de comprobar los ejemplos anteriores.

Un plan de estudio para los logaritmos

Los logaritmos parecen abstractos sobre todo porque la notación oculta una pregunta sencilla. Una buena forma de ganar soltura es practicar la traducción en los dos sentidos hasta que sea automática. Toma diez potencias que ya conozcas, como $2^5 = 32$ o $10^{-2} = 0.01$, y reescribe cada una como logaritmo. Después toma diez logaritmos y reescribe cada uno como potencia. Tras una sesión corta, calcular $\log_3 81$ o $\log_{10} 0.001$ se convierte en un paso mental rápido en lugar de un acertijo.

A continuación, practica las propiedades con números antes de usarlas con variables. Comprobar que $\log_2 8 + \log_2 4$ es igual a $\log_2 32$ calculando los dos miembros hace creíble la propiedad del producto y te entrena para detectar las versiones falsas de la sección siguiente. Solo entonces pasa a desarrollar y agrupar expresiones algebraicas.

Por último, resuelve ecuaciones de dos familias: las que tienen la incógnita en un exponente y las que la tienen dentro de un logaritmo. La primera familia se resuelve tomando logaritmos; la segunda, reescribiendo en forma exponencial. Reconocer a qué familia pertenece un problema es la mitad del trabajo, y comprobar el dominio al final es el otro hábito que separa las respuestas correctas de las casi correctas.

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