Calculadora de potencias — Propiedades de las potencias paso a paso

Sobre la calculadora de potencias y exponentes

Los exponentes son una forma abreviada de escribir multiplicaciones repetidas, pero enseguida van más allá: los exponentes negativos describen inversos, los fraccionarios describen raíces, y unas pocas reglas permiten simplificar productos largos en unas líneas. Confundir esas reglas es una de las fuentes de error más habituales en álgebra.

La calculadora tiene dos modos. El modo potencia calcula $a^b$ de forma exacta con base y exponente racionales, por ejemplo $8^{2/3} = 4$ o $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , y te avisa cuando el resultado es irracional o no es un número real. El modo simplificar aplica las propiedades de las potencias a expresiones monomias con varias variables y escribe la respuesta con exponentes positivos.

¿Qué es un exponente?

En $a^n$ , la base $a$ se multiplica por sí misma $n$ veces cuando $n$ es un entero positivo: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Al exponente $n$ también se le llama potencia o índice.

La definición se amplía de forma que las reglas sigan funcionando: $a^0 = 1$ para $a \ne 0$ , $a^{-n} = 1/a^n$ y $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Con esto, todo exponente racional tiene sentido, y $a^{m/n}$ es la raíz $n$ -ésima de $a$ elevada a la potencia $m$ .

Cómo usar la calculadora de potencias y exponentes

Elige «Calcular una potencia bⁿ» para elevar un número a un exponente, o «Simplificar con las leyes de los exponentes» para aplicar las propiedades a una expresión.
En el modo potencia, introduce la base y el exponente. Ambos pueden ser enteros, decimales o fracciones como 2/3 o -1/2.
En el modo simplificar, escribe la expresión con ^ para las potencias, por ejemplo (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Pulsa Calcular y sigue los pasos; cada uno nombra la regla usada, como la potencia de un producto o el cociente de potencias de igual base.

Fórmulas

Producto de potencias de igual base

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Cociente de potencias de igual base

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Potencia de una potencia

(a^m)^n = a^{mn}

Potencia de un producto

(ab)^n = a^n b^n

Exponente negativo

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Exponente fraccionario

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Ejemplo resuelto: 8^(2/3)

El ejemplo resuelto calcula $8^{2/3}$ . El denominador 3 del exponente indica una raíz cúbica y el numerador 2 un cuadrado, así que el motor calcula primero $\sqrt[3]{8} = 2$ y después lo eleva al cuadrado para obtener 4.

Extraer primero la raíz mantiene los números pequeños: $8^2 = 64$ y $\sqrt[3]{64} = 4$ da la misma respuesta con más cuentas.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

4

Cómo hemos leído tu problema

Elevar 8 a la potencia 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Solución paso a paso

Identificar la base y el exponente
base b = 8, exponente n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Regla del exponente fraccionario
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: el denominador 3 es el índice de la raíz y el numerador 2 es la potencia.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Calcular la raíz cúbica exacta
$4$

Fórmulas utilizadas

Potencia entera
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Exponente negativo
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Exponente racional
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 elevado a 2/3 es igual a 4.

Comprobación

Comprobación decimal: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Explicación detallada

Por qué funcionan las reglas

El producto de potencias es contar. $a^3 \cdot a^2$ son tres copias de $a$ multiplicadas por otras dos, cinco en total, así que $a^5$ . El cociente es simplificar: en $\frac{a^5}{a^2}$ se cancelan dos copias y quedan tres.

Las definiciones del exponente cero y del negativo vienen impuestas por la regla del cociente. Como $\frac{a^3}{a^3} = 1$ y la regla da $a^0$ , tiene que ser $a^0 = 1$ . Del mismo modo, $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ y además es igual a $\frac{1}{a^3}$ , así que $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Exponentes fraccionarios y raíces

Como $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ , el número $a^{1/n}$ tiene que ser la raíz $n$ -ésima de $a$ . La calculadora devuelve un resultado exacto cuando la raíz es racional, como $32^{3/5} = 8$ , y en otro caso conserva la forma radical exacta en lugar de un decimal redondeado.

Con base negativa, las raíces de índice impar son reales, así que $(-8)^{1/3} = -2$ , pero las de índice par no son números reales: $(-4)^{1/2}$ no tiene valor real. La calculadora lo indica en lugar de devolver un resultado engañoso.

Simplificar expresiones monomias

Para simplificar una expresión como $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ , aplica primero la potencia de un producto: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Después divide los coeficientes y resta los exponentes variable a variable: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ e $y^{2-5} = y^{-3}$ . Por último, reescribe los exponentes negativos como inversos para obtener $\frac{x^7}{y^3}$ .

Dónde aparecen las potencias fuera de clase

Las potencias describen todo lo que crece o decrece en un factor fijo. Un capital que rinde un 5% anual queda multiplicado por $1.05^t$ al cabo de $t$ años, una población que se duplica en cada periodo crece como $2^t$ , y una muestra radiactiva con un periodo de semidesintegración disminuye como $\left(\tfrac12\right)^t$ . La notación científica, como $6.02 \times 10^{23}$ , usa potencias de diez para escribir de forma compacta números muy grandes y muy pequeños.

En todos los casos se aplican las mismas reglas. Dos años de crecimiento seguidos de otros tres dan $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ , y el tiempo necesario para alcanzar una cantidad objetivo se halla deshaciendo la potencia con un logaritmo, algo que la calculadora de logaritmos hace paso a paso.

Errores frecuentes

Multiplicar la base por el exponente, como en $2^3 = 6$ en lugar de 8.
Creer que un exponente negativo hace negativo el resultado. $2^{-3} = \tfrac18$ , que es positivo.
Aplicar el exponente solo a una parte de un producto: $(3x)^2 = 9x^2$ , no $3x^2$ .
Repartir un exponente sobre una suma: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Confundir $-3^2 = -9$ con $(-3)^2 = 9$ ; la potencia se aplica antes que el signo menos.

Consejos

En $a^{m/n}$ , extrae primero la raíz cuando la base sea una potencia perfecta; los números se mantienen más pequeños.
Al simplificar monomios, trata por separado los coeficientes y cada variable.
Deja los exponentes negativos para el último paso y entonces pásalos al otro lado de la raya de fracción.
Usa paréntesis siempre que eleves un número negativo o una fracción a una potencia.

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale cualquier número elevado a cero?

Cualquier número distinto de cero elevado a cero vale 1. La expresión 0 elevado a 0 se deja sin definir en esta calculadora, porque distintas ramas de las matemáticas la tratan de forma distinta.

¿Cómo se calcula una potencia de exponente negativo?

Toma el inverso de la base y usa el exponente positivo. Por ejemplo, 5 elevado a menos 2 es igual a 1 entre 25.

¿Qué significa un exponente fraccionario?

El denominador es una raíz y el numerador una potencia. Así, 27 elevado a 2/3 es la raíz cúbica de 27, que es 3, elevada al cuadrado, que da 9.

¿Puedo elevar un número negativo a una potencia fraccionaria?

Solo cuando el denominador del exponente, ya simplificado, es impar. Menos 8 elevado a 1/3 es menos 2, pero menos 4 elevado a 1/2 no es un número real.

¿Por qué (a + b) al cuadrado no es a al cuadrado más b al cuadrado?

Los exponentes se reparten sobre la multiplicación, no sobre la suma. Al desarrollar se obtiene a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado, y el término central es fácil de olvidar.

¿La calculadora da resultados exactos?

Sí. Los resultados son fracciones o radicales exactos; la aproximación decimal solo aparece junto a un resultado irracional.

Prueba la calculadora de potencias y exponentes

Calcula una potencia exacta o simplifica una expresión viendo cada propiedad que se aplica.

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