Calculadora de logaritmos

Sobre la calculadora de logaritmos

Un logaritmo responde a una sola pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número? Como $2^5 = 32$ , $\log_2 32 = 5$ . Los logaritmos deshacen las exponenciales, y por eso son la herramienta para resolver cualquier ecuación en la que la incógnita esté en un exponente, desde el interés compuesto hasta el pH o los decibelios.

La calculadora tiene tres modos. El modo calcular halla $\log_b(x)$ y da un resultado racional exacto, como $\log_4 8 = \tfrac32$ , cuando $x$ es una potencia racional de $b$ , o una expresión con cambio de base y su valor decimal en los demás casos. El modo resolver $b^x = y$ halla el exponente, y el modo resolver $\log_b(x) = c$ halla el argumento. La base puede ser cualquier número positivo distinto de 1, o $e$ para el logaritmo neperiano.

¿Qué es un logaritmo?

Para una base $b > 0$ con $b \ne 1$ y un número $x > 0$ , $\log_b x = y$ significa exactamente $b^y = x$ . Las dos igualdades expresan el mismo hecho de dos maneras, y pasar de una a otra es la destreza clave.

Dos bases tienen nombre propio. El logaritmo decimal $\log x$ usa la base 10, y el logaritmo neperiano o natural $\ln x$ usa la base $e \approx 2.71828$ , que aparece de forma natural en el crecimiento, el cálculo y la probabilidad. Los logaritmos de cero y de los números negativos no están definidos en los números reales, porque ninguna potencia de una base positiva es cero ni negativa.

Cómo usar la calculadora de logaritmos

Elige un modo: calcular log_b(x), resolver b^x = y o resolver log_b(x) = c.
Introduce la base: un número positivo distinto de 1, 10 para el logaritmo decimal o e para el neperiano.
Introduce el número x (para calcular) o el segundo miembro (en los modos de ecuación). Se admiten fracciones como 1/8.
Pulsa Calcular. Verás cómo se ha escrito el número como potencia de la base, o qué paso de cambio de base se ha usado.

Fórmulas

Definición

\log_b x = y \iff b^y = x

Logaritmo de un producto

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Logaritmo de un cociente

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Logaritmo de una potencia

\log_b(M^k) = k\log_b M

Cambio de base

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Ejemplo resuelto: log₄(8)

El ejemplo calcula $\log_4 8$ . Ninguno de los dos números es potencia del otro, pero ambos son potencias del mismo número primo: $4 = 2^2$ y $8 = 2^3$ . El motor reescribe la pregunta como $(2^2)^y = 2^3$ , así que $2y = 3$ .

Por tanto, el resultado exacto es $\tfrac32$ , y en efecto $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

Cómo hemos leído tu problema

Calcular el logaritmo de 8 en base 4.

\log_{4}\left(8\right)

Solución paso a paso

Pregúntate: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número?
$4^{\,y} = 8$
Escribir ambos números como potencias de los mismos factores primos
Al comparar los exponentes de los factores primos se ve que 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Fórmulas utilizadas

Definición
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Cambio de base
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Propiedades
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 elevado a 3/2 da exactamente 8.

Comprobación

Comprobación: 4^1.5 ≈ 8.

Explicación detallada

Valores exactos frente a cambio de base

Cuando el número y la base comparten una misma base prima, el logaritmo es un número racional y se puede hallar de forma exacta, como en $\log_{27} 9 = \tfrac23$ o $\log_2 \tfrac18 = -3$ . La calculadora descompone ambos en potencias de primos y compara los exponentes, así que estos resultados salen exactos.

La mayoría de los logaritmos son irracionales. Para $\log 50$ no existe un valor racional exacto, así que la calculadora escribe la forma con cambio de base $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ y da el decimal $1.69897\ldots$ . La regla del cambio de base funciona porque si $y = \log_b x$ , entonces $b^y = x$ , y al tomar logaritmos neperianos queda $y \ln b = \ln x$ .

Resolver ecuaciones exponenciales

Para resolver $2^x = 10$ , toma logaritmos en ambos miembros. La propiedad del logaritmo de una potencia baja la incógnita: $x \ln 2 = \ln 10$ , así que $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . Una comprobación rápida: $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$ , así que la solución tiene que estar entre 3 y 4.

Una ecuación como $2^x = -4$ no tiene solución real, porque una base positiva elevada a cualquier exponente real es positiva. La calculadora lo indica en lugar de devolver un valor.

Resolver ecuaciones logarítmicas

Para resolver $\log_3 x = 4$ , pásala a forma exponencial: $x = 3^4 = 81$ . La solución tiene que ser positiva, ya que los logaritmos solo están definidos para argumentos positivos; en ecuaciones más complicadas, comprueba siempre que las soluciones candidatas cumplen esta condición.

Combinar las propiedades de los logaritmos

Las propiedades del producto, del cociente y de la potencia son el reflejo de las leyes de los exponentes, porque los logaritmos son exponentes. Permiten desarrollar un logaritmo en partes más sencillas, como en $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , o agrupar varios logaritmos en uno, como en $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Agrupar suele ser el primer paso cuando una ecuación tiene más de un logaritmo, porque así el logaritmo único se puede pasar a forma exponencial.

Errores frecuentes

Escribir $\log(a + b) = \log a + \log b$ . La propiedad del producto es para $\log(ab)$ , no para sumas.
Dividir logaritmos de forma incorrecta: $\frac{\log a}{\log b}$ no es $\log(a - b)$ ni $\log\frac ab$ .
Calcular el logaritmo de cero o de un número negativo.
Confundir en la calculadora $\log$ (base 10) con $\ln$ (base $e$ ).
Olvidar que $\log_b 1 = 0$ y $\log_b b = 1$ para cualquier base válida.

Consejos

Si no tienes claro qué significa un logaritmo, pásalo primero a forma exponencial.
Estima con potencias cercanas antes de calcular: $\log_2 10$ es algo mayor que 3.
Usa la descomposición en factores primos para detectar resultados exactos, como $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Si tu curso lo permite, deja el resultado en forma logarítmica exacta hasta el último paso.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre log y ln?

log suele indicar la base 10, el logaritmo decimal, y ln la base e, el logaritmo neperiano. Ambos cumplen las mismas propiedades; solo se diferencian en un factor constante.

¿Por qué no puedo calcular el logaritmo de un número negativo?

Una base positiva elevada a cualquier exponente real es siempre positiva, así que ningún exponente real da cero ni un número negativo. Esos logaritmos no están definidos en los números reales.

¿Cómo funciona la fórmula del cambio de base?

El logaritmo en base b de x es igual a ln x dividido entre ln b. Así puedes calcular un logaritmo en cualquier base con una calculadora que solo tenga las teclas ln o log.

¿Cuándo es un logaritmo un número entero o una fracción?

Cuando el número es una potencia racional de la base. Por ejemplo, el logaritmo en base 4 de 8 es 3/2 porque 4 elevado a 3/2 es 8. En los demás casos el logaritmo es irracional.

¿Cómo resuelvo una ecuación con la incógnita en el exponente?

Toma logaritmos en ambos miembros, usa la propiedad de la potencia para bajar el exponente y divide. Para 2 elevado a x igual a 10, x es igual a ln 10 dividido entre ln 2.

¿Por qué la base no puede ser 1?

Todas las potencias de 1 valen 1, así que el logaritmo en base 1 no podría distinguir entre números y no sería una función.

¿Para qué se usan los logaritmos?

Para medir magnitudes que abarcan muchos órdenes de magnitud, como la intensidad de un terremoto, el nivel sonoro en decibelios o la acidez mediante el pH, y para resolver problemas de crecimiento y decrecimiento.

Prueba la calculadora de logaritmos

Calcula un logaritmo en cualquier base o resuelve una ecuación exponencial o logarítmica paso a paso.

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