Calculadora de función inversa

Sobre la calculadora de función inversa

Una función inversa invierte una regla. Si $f$ convierte grados Celsius en Fahrenheit, su inversa convierte los Fahrenheit de nuevo en Celsius; si $f$ duplica un número y le suma tres, la inversa le resta tres y lo divide entre dos. Hallar una inversa a mano consiste en intercambiar los papeles de la entrada y la salida y resolver una ecuación, algo rutinario con las rectas que enseguida se complica con fracciones, raíces y exponenciales.

Esta calculadora halla $f^{-1}(x)$ para funciones lineales, racionales, potenciales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas básicas. Muestra los pasos de intercambiar y despejar, da el dominio de la inversa y, cuando $f$ no es inyectiva, elige una rama estándar y lo indica. Cada resultado se verifica numéricamente componiendo $f$ con $f^{-1}$ en puntos de muestra.

¿Qué es una función inversa?

La inversa de una función $f$ es la función $f^{-1}$ que cumple $f^{-1}(f(x)) = x$ para todo $x$ del dominio de $f$ y $f(f^{-1}(y)) = y$ para todo $y$ del recorrido de $f$ . La notación $f^{-1}$ indica la inversa, no el recíproco $\frac{1}{f}$ .

Solo las funciones inyectivas tienen inversa, porque cada salida debe proceder de una única entrada. En una gráfica, esto es la prueba de la recta horizontal: ninguna recta horizontal puede cortar la curva dos veces. La gráfica de $f^{-1}$ es la simétrica de la gráfica de $f$ respecto de la recta $y = x$ , y el dominio y el recorrido intercambian sus papeles.

Cómo usar la calculadora de función inversa

Escribe la función en términos de $x$ , por ejemplo (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 o e^x.
Pulsa Calcular la inversa.
Lee los pasos: sustituir f(x) por y, intercambiar x e y, y despejar y.
Fíjate en el dominio de f⁻¹ y en cualquier restricción de rama que haya aplicado la calculadora.
Usa las líneas de comprobación para confirmar que f y f⁻¹ se deshacen mutuamente.

Fórmulas

Propiedad que la define

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Intercambiar y despejar

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Intercambio de dominio y recorrido

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Inversa de una función homográfica

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Ejemplo resuelto: (2x + 3)/(x − 1)

El ejemplo invierte $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Tras el intercambio, en la ecuación $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ se quita el denominador, se reúnen en un miembro todos los términos que contienen $y$ y se saca $y$ factor común.

El resultado es $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Su dominio excluye el 2 porque $f$ nunca da 2 como salida: cuando $x$ crece, $f(x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = 2$ sin alcanzarla.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Cómo hemos leído tu problema

Hallar f⁻¹, la función que deshace f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Solución paso a paso

Sustituir f(x) por y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Multiplicar ambos miembros por el denominador
$y(1x+-1) = 2x+3$
Agrupar los términos en x en un miembro y sacar x factor común
$x(1y-2) = 3--1y$
Dividir para despejar x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Despejada x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Intercambiar x con y para escribir la inversa
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f
$\text{Dominio de } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Fórmulas utilizadas

Inversa
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Para invertir una función, escribe y = f(x), deshaz sus operaciones en orden inverso hasta dejar x sola y después intercambia las letras.

Comprobación

Comprobado: f(f⁻¹(y)) = y en 12 puntos de muestra.
Comprobado: f⁻¹(f(x)) = x en 12 puntos de muestra.

Explicación detallada

Por qué funciona el método de intercambiar y despejar

Escribir $y = f(x)$ describe todos los pares $(x, y)$ de la gráfica. Al intercambiar las letras se describe el conjunto de pares reflejado, que es exactamente la gráfica de la inversa. Despejar $y$ en la ecuación intercambiada convierte de nuevo ese conjunto de pares en una fórmula. El método solo falla cuando el paso de despejar tiene más de una solución, lo que indica que $f$ no es inyectiva.

Para cada tipo de función hay una operación que la deshace: la resta deshace la suma, la división deshace la multiplicación, la raíz cúbica deshace el cubo, $\ln$ deshace $e^x$ y $\log_2$ deshace $2^x$ . Invertir $x^3 + 1$ consiste en deshacer esas operaciones en orden inverso: restar 1 y después extraer la raíz cúbica, lo que da $\sqrt[3]{x - 1}$ .

Restringir el dominio

Una función como $x^2$ no supera la prueba de la recta horizontal, porque $2$ y $-2$ van ambos a 4. Para que tenga inversa, nos quedamos solo con una parte de su dominio. La calculadora usa la rama habitual $x \geq 0$ , que da $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , e indica la restricción en el resultado. Para $x^2 + 1$ , la misma rama da $\sqrt{x - 1}$ con dominio $[1, \infty)$ .

Las funciones trigonométricas también se restringen de la forma estándar. Para $\sin x$ , la calculadora conserva $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , lo que produce $\arcsin x$ en $[-1, 1]$ .

Cómo se comprueba el resultado

Tras hallar una inversa candidata, el motor calcula $f(f^{-1}(y))$ para valores de muestra de $y$ en el recorrido de $f$ y exige que devuelva $y$ ; si falla, no se da ninguna inversa. También calcula $f^{-1}(f(x))$ : cuando solo devuelve $x$ para algunas entradas, $f$ no es inyectiva, y el resultado nombra la rama utilizada. Así se detectan errores de signo y ramas equivocadas que es fácil pasar por alto haciendo solo el álgebra.

Errores frecuentes

Leer $f^{-1}(x)$ como $\frac{1}{f(x)}$ ; aquí la notación de exponente indica la inversa, no el recíproco.
Olvidar intercambiar $x$ e $y$ y limitarse a despejar $x$ en $y = f(x)$ , dejando el resultado en términos de $y$ .
Afirmar que la inversa de $x^2$ es $\pm\sqrt x$ ; una función debe dar una sola salida, así que hace falta elegir una rama.
No tener en cuenta el dominio de la inversa, que es igual al recorrido de la función original.
Deshacer las operaciones en el orden original en lugar de en orden inverso.

Consejos

Prueba un valor: si $f(2) = 7$ , entonces $f^{-1}(7)$ tiene que ser 2.
Dibuja $f$ con la calculadora gráfica y aplica la prueba de la recta horizontal antes de invertir.
Con cocientes de expresiones lineales, quita denominadores, agrupa los términos con $y$ y saca $y$ factor común.
Halla el recorrido de $f$ con la calculadora de dominio y recorrido para obtener el dominio de la inversa.
Usa la calculadora de composición de funciones para comprobar que $f(f^{-1}(x))$ se simplifica a $x$ .

Preguntas frecuentes

¿Cómo se halla la inversa de una función?

Sustituye f(x) por y, intercambia x e y, despeja y en la nueva ecuación y escribe el resultado como f⁻¹(x). Después indica su dominio, que es el recorrido de la función original.

¿Todas las funciones tienen inversa?

No. Solo las inyectivas. Las funciones que no superan la prueba de la recta horizontal, como x² o sin x, necesitan restringir su dominio para tener inversa.

¿Qué rama elige la calculadora para x²?

Usa x ≥ 0, así que la inversa es la raíz cuadrada. La restricción se indica en el resultado para que sepas qué rama se ha usado.

¿Es f⁻¹(x) lo mismo que 1/f(x)?

No. El superíndice −1 indica la función inversa. El recíproco 1/f(x) es otra función y suele escribirse como fracción o como (f(x))⁻¹.

¿Cuál es la inversa de e^x?

El logaritmo neperiano, ln x, con dominio x > 0. Del mismo modo, la inversa de 2^x es el logaritmo en base 2 de x.

¿Qué relación hay entre las gráficas de f y f⁻¹?

Son simétricas respecto de la recta y = x, así que a un punto (a, b) de una gráfica le corresponde el punto (b, a) de la otra.

¿Cómo verifica la calculadora la inversa?

Calcula f(f⁻¹(y)) en varios puntos de muestra y solo da una inversa si todos los valores vuelven sin cambios. También compone en el otro orden para detectar cuándo hacía falta restringir la rama.

Prueba la calculadora de función inversa

Escribe una función y obtén su inversa, el dominio de f⁻¹ y la comprobación paso a paso.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA