Calculadora de ecuaciones

Q: ¿Cómo se resuelven las ecuaciones cúbicas?

La calculadora prueba las posibles raíces racionales p/q, divide cada raíz que encuentra por Ruffini y resuelve lo que queda. Las raíces irracionales restantes se hallan numéricamente.

Q: ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación polinómica?

Una ecuación polinómica de grado n tiene como mucho n soluciones reales, y exactamente n soluciones complejas si se cuentan las raíces repetidas. La cuártica x^4 - 5x^2 + 4 = 0 tiene cuatro raíces reales: -2, -1, 1 y 2.

Q: ¿Para qué sirve el teorema de la raíz racional?

Limita las posibles raíces racionales a fracciones p/q en las que p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal. Así se obtiene una lista corta de candidatos que probar en lugar de adivinar.

Sobre la calculadora de ecuaciones

Un resolvedor de ecuaciones tiene que reconocer a qué tipo de problema se enfrenta. Una ecuación lineal requiere operaciones inversas, una de segundo grado necesita el discriminante, y una cúbica o cuártica puede descomponerse con el teorema de la raíz racional.

Esta calculadora reúne los términos en un polinomio siempre que puede y lo resuelve de forma exacta. Para ecuaciones como $2^x = 32$ o $\sin x = 0.5$ localiza las raíces reales de forma numérica y las enumera dentro de un intervalo indicado. Si no hay signo igual, simplifica o evalúa la expresión.

¿Qué es una calculadora de ecuaciones?

Una calculadora de ecuaciones toma una ecuación con una incógnita y devuelve todos los valores que la satisfacen, junto con el método. El método depende del tipo de ecuación. Una ecuación lineal como $5x - 3 = 12$ solo necesita operaciones inversas. Una ecuación polinómica como $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ exige encontrar sus raíces una a una. Una ecuación como $2^x = 32$ tiene la incógnita en el exponente y se trata de otra manera.

La calculadora reescribe primero la ecuación como una sola expresión igualada a cero y comprueba si esa expresión es un polinomio. Si lo es, las raíces se hallan de forma exacta; si no, las raíces reales se localizan numéricamente en un intervalo indicado. Si escribes una expresión sin signo igual, se desarrolla y se simplifica, de modo que $(x + 3)^2$ se convierte en $x^2 + 6x + 9$ .

Cómo usar la calculadora de ecuaciones

Escribe una ecuación como x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0, o una expresión como (x + 3)^2.
Usa ^ para las potencias, * para multiplicar (opcional entre un número y una letra) y sqrt( ) para las raíces.
Pulsa Resolver. La línea de interpretación te dice qué método se ha elegido.

Fórmulas

Teorema de la raíz racional

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Fórmula general de segundo grado

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Teorema del factor

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ es un factor de } P(x)

Ejemplo resuelto: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

El ejemplo resuelto es la cúbica $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz racional debe dividir a 6, así que la calculadora prueba los candidatos $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Encuentra $x = 1$ , lo divide y queda $x^2 - 5x + 6$ ; después encuentra $x = 2$ , queda $x - 3$ , y por último $x = 3$ . Al sustituir cada raíz en la cúbica original se obtiene 0, como confirman las comprobaciones.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Cómo hemos leído tu problema

Ecuación polinómica de grado 3 en x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Solución paso a paso

Partir de la ecuación
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Pasar todos los términos a un miembro
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Probar los candidatos del teorema de las raíces racionales: x = 1 es una raíz
La división sintética (regla de Ruffini) entre (x - 1) deja un polinomio de grado 2.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Probar los candidatos del teorema de las raíces racionales: x = 2 es una raíz
La división sintética (regla de Ruffini) entre (x - 2) deja un polinomio de grado 1.
$x - 3 = 0$
Probar los candidatos del teorema de las raíces racionales: x = 3 es una raíz
La división sintética (regla de Ruffini) entre (x - 3) deja un polinomio de grado 0.
Reunir las soluciones reales
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Fórmulas utilizadas

Teorema de las raíces racionales
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Un polinomio de grado 3 tiene exactamente 3 raíces contadas con su multiplicidad (algunas pueden ser complejas). Primero se buscan las raíces racionales exactas y después el resto se resuelve de forma exacta o aproximada.

Comprobación

x = 1: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓
x = 2: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓
x = 3: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓

Explicación detallada

Ecuaciones polinómicas paso a paso

El teorema del factor dice que $r$ es raíz de un polinomio exactamente cuando $x - r$ es un factor suyo. Así, cada raíz que encuentra la calculadora le permite dividir el polinomio entre $x - r$ por Ruffini, lo que baja el grado en uno. Cuando queda un polinomio de segundo grado, el discriminante y la fórmula general terminan el trabajo de forma exacta. Así es como una cuártica como $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ se resuelve en las cuatro raíces $-2, -1, 1$ y $2$ .

Si el factor que queda no tiene raíces racionales, sus raíces reales se aproximan numéricamente y se marcan con ≈, mientras que las raíces complejas se indican para los factores de segundo grado.

Ecuaciones no polinómicas

Para ecuaciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, la calculadora escribe la ecuación como $f(x) = 0$ , recorre el intervalo de −100 a 100 buscando puntos donde $f$ cambia de signo y acota cada uno por bisección. Para $2^x = 32$ encuentra $x \approx 5$ y lo sustituye para mostrar que los dos miembros valen 32. Como solo se explora ese intervalo, la calculadora lo indica en los pasos; las ecuaciones periódicas como $\sin x = 0.5$ tienen infinitas soluciones, y solo se enumeran las que caen en el intervalo.

Errores frecuentes

Escribir 2x^2 cuando quieres decir (2x)^2; la potencia se aplica antes que la multiplicación.
Esperar una única respuesta de una cúbica; un polinomio de grado $n$ puede tener hasta $n$ raíces reales.
Escribir sin x sin paréntesis; escribe sin(x).
Dividir ambos miembros entre un factor que contiene $x$ y perder las raíces donde ese factor vale cero.
Olvidar pasar todos los términos a un mismo miembro antes de intentar factorizar.

Consejos

Pasa todo a un miembro y saca factor común antes de recurrir a fórmulas.
Usa la calculadora gráfica para ver cuántas raíces reales cabe esperar.
En las ecuaciones exponenciales, comprueba si los dos miembros pueden escribirse con la misma base.
Si todos los coeficientes suman 0, entonces $x = 1$ es raíz; es lo que ocurre en el ejemplo resuelto.
Lee primero la línea de interpretación; te dice cómo se ha entendido la entrada y qué método se ha usado.
Saca factor común, por ejemplo $x$ , antes de dividir; $x^3 = 4x$ tiene tres soluciones, no dos.

Preguntas frecuentes

¿Qué tipos de ecuaciones puede resolver?

Ecuaciones lineales, de segundo grado y polinómicas de cualquier grado, ecuaciones racionales con x en un denominador y ecuaciones de una variable con exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas (resueltas numéricamente).

¿Cómo se resuelven las ecuaciones cúbicas?

La calculadora prueba las posibles raíces racionales $\frac{p}{q}$ , divide cada raíz que encuentra por Ruffini y resuelve lo que queda. Las raíces irracionales restantes se hallan numéricamente.

¿Por qué la respuesta lleva ≈?

El signo de aproximación indica que la raíz se localizó numéricamente, con unas 10 cifras significativas, porque no se usó una expresión exacta.

¿Puedo simplificar una expresión sin signo igual?

Sí. Escribe una expresión como (x + 3)^2 para desarrollarla y simplificarla, o una expresión numérica para evaluarla.

¿Encuentra raíces complejas?

Las raíces complejas se dan en las ecuaciones de segundo grado y en los polinomios una vez extraídas las raíces reales. Las ecuaciones no polinómicas se resuelven en los números reales.

¿Se comprueban las respuestas?

Sí. Cada raíz se sustituye en la ecuación original y el residuo aparece en la sección de comprobación.

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación polinómica?

Una ecuación polinómica de grado $n$ tiene como mucho $n$ soluciones reales, y exactamente $n$ soluciones complejas si se cuentan las raíces repetidas. La cuártica $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ tiene cuatro raíces reales: $-2, -1, 1$ y $2$ .

¿Para qué sirve el teorema de la raíz racional?

Limita las posibles raíces racionales a fracciones $\frac{p}{q}$ en las que $p$ divide al término independiente y $q$ divide al coeficiente principal. Así se obtiene una lista corta de candidatos que probar en lugar de adivinar.

¿Puedo simplificar una expresión sin resolverla?

Sí. Omite el signo igual y la calculadora desarrolla y reduce términos semejantes en lugar de resolver. Si escribes $(x + 3)^2$ , devuelve $x^2 + 6x + 9$ .

Prueba la calculadora de ecuaciones

Escribe una ecuación o una expresión y mira qué método elige y cómo comprueba cada raíz.

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