Cómo comprobar los deberes y los resultados de matemáticas

Por qué merece la pena practicar la comprobación

Muchos estudiantes entienden por comprobar releer su desarrollo, algo que rara vez encuentra nada: el ojo ve lo que espera ver. Comprobar de verdad consiste en llegar al mismo resultado por otro camino, de modo que un error en el primer camino aparezca como una discrepancia. Cada uno de los métodos siguientes ofrece un camino así. La mayoría lleva menos de un minuto y, juntos, detectan la gran mayoría de los errores en deberes y exámenes.

Comprobar también mejora la comprensión. Sustituir una solución en una ecuación te recuerda qué es realmente una solución. Derivar una integral te recuerda cómo se relacionan ambas operaciones. Con el tiempo, quienes comprueban por costumbre desarrollan un olfato para saber cuándo un resultado no cuadra, uno de los instintos más valiosos en matemáticas.

1. Sustituye la solución

Una solución de una ecuación es un valor que la hace cierta, así que la comprobación más directa es sustituirlo. Usa la ecuación original y no una línea posterior del desarrollo, porque si no, un error en uno de los primeros pasos pasaría desapercibido.

Sustituir es imprescindible cuando has elevado al cuadrado los dos miembros o has multiplicado por una expresión que contiene la incógnita, porque esos pasos pueden crear soluciones extrañas. Al resolver $\sqrt{x + 7} = x - 5$ elevando al cuadrado se obtiene $x^2 - 11x + 18 = 0$, es decir, $x = 9$ o $x = 2$. Al sustituir se ve que $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$, que se cumple, pero $\sqrt{9} = 3$ mientras que $2 - 5 = -3$, así que hay que descartar $x = 2$.

2. Haz la operación inversa

Muchas operaciones tienen una inversa que las deshace, y la inversa suele ser más fácil de hacer. La factorización se comprueba desarrollando, la división multiplicando y la integración derivando.

• Factorización: si has escrito $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$, desarrolla el segundo miembro: $x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.
• División: si $391 \div 17 = 23$, comprueba que $17 \times 23 = 391$.
• Integración: si $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$, al derivar $\sin(x^2)$ con la regla de la cadena se obtiene $2x\cos(x^2)$, como debe ser.
• Logaritmos: si $\log_2 32 = 5$, comprueba que $2^5 = 32$.
• Funciones inversas: si $f^{-1}$ es correcta, entonces $f(f^{-1}(x)) = x$ para varios valores de prueba.

3. Estima antes y después

Una estimación aproximada hecha antes de calcular te da un objetivo. Redondear $49 \times 21$ a $50 \times 20 = 1000$ te dice que el resultado exacto, 1029, es verosímil, mientras que 10,290 o 129 serían errores evidentes. La estimación es especialmente útil con la calculadora, donde una cifra mal tecleada o una coma decimal fuera de sitio produce un resultado de un tamaño completamente equivocado.

En los problemas aplicados, pregúntate si el resultado tiene sentido en el contexto. Una persona no puede medir 25 metros, una probabilidad no puede ser negativa y un coche no puede ir a una media de 900 km por hora. Estas comprobaciones de realidad llevan segundos y detectan algunos de los errores más caros.

4. Aprovecha la estructura del resultado

Muchos resultados cumplen relaciones que puedes comprobar sin rehacer el problema. En una ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ con raíces $r_1$ y $r_2$, la suma y el producto de las raíces deben cumplir

En $x^2 - 5x + 6 = 0$, las raíces 2 y 3 suman 5 y su producto es 6, lo que coincide con $-\frac{-5}{1}$ y $\frac{6}{1}$. Otras comprobaciones estructurales son la simetría, los signos y el grado: el producto de un polinomio de grado 2 y otro de grado 3 debe tener grado 5, el determinante de una matriz con dos filas iguales debe ser cero y las probabilidades de una distribución deben sumar 1.

5. Prueba valores especiales o sencillos

Cuando el resultado es una expresión o una identidad y no un número, pruébalo con valores cómodos. Si has simplificado una expresión, la versión original y la simplificada deben coincidir en todos los valores permitidos. Prueba $x = 0$, $x = 1$ y $x = 2$; una discrepancia en cualquiera de ellos demuestra que hay un error.

Las derivadas se pueden comprobar numéricamente con un incremento pequeño. Para $f(x) = x^3$ la derivada es $3x^2$, así que $f'(2) = 12$. El cociente incremental $\frac{2.001^3 - 1.999^3}{0.002} = 12.000001$ coincide casi exactamente, lo que confirma el resultado. El mismo enfoque sirve para los límites y para integrales estimadas con unos cuantos rectángulos.

6. Revisa las unidades y las dimensiones

En ciencias y en matemáticas aplicadas, las unidades son una comprobación gratuita. Un área debe salir en unidades cuadradas, un volumen en unidades cúbicas y una velocidad en distancia por tiempo. Si una fórmula de un área da un resultado en metros y no en metros cuadrados, falta un factor. Arrastrar las unidades por cada línea del cálculo hace visibles estos errores al instante.

7. Resuélvelo de otra manera

En los problemas importantes, un segundo método es la comprobación más sólida. Un sistema de ecuaciones resuelto por sustitución se puede volver a resolver por reducción; una ecuación de segundo grado resuelta factorizando se puede comprobar con la fórmula general; una integral se puede comparar con una estimación numérica. Si dos métodos independientes coinciden, es muy probable que el resultado sea correcto.

Las gráficas ofrecen una alternativa visual. Las soluciones de una ecuación son los puntos donde se cortan las gráficas de sus dos miembros, y las raíces de un polinomio son sus puntos de corte con el eje x. Un esbozo, o la calculadora gráfica, muestra de un vistazo si tienes el número correcto de soluciones aproximadamente en los lugares correctos.

8. Compara con un solucionador paso a paso

Cuando termines, compara tu trabajo con una herramienta paso a paso como el solucionador de ecuaciones, la calculadora de factorización o la calculadora de derivadas. Si los resultados no coinciden, no te limites a copiar el de la herramienta. Busca la primera línea en la que los pasos se separan: ahí está tu error, y entenderlo es lo que evita que lo repitas. Para un repaso de los errores más habituales, consulta cómo evitar los errores tontos en matemáticas.

Empieza por la comprobación más barata. Sustituir y estimar lleva segundos; volver a resolver lleva minutos. Reserva las comprobaciones costosas para los problemas que más puntúan o para cuando falle una comprobación rápida.

Una rutina de comprobación para exámenes con tiempo

En un examen casi nunca hay tiempo para volver a resolverlo todo, así que hay que comprobar de forma selectiva. Mientras trabajas, marca las preguntas en las que dudaste, hiciste un cálculo largo o elevaste al cuadrado los dos miembros. Al llegar al final, vuelve primero a las preguntas marcadas. En cada una, haz una sola comprobación rápida, normalmente sustituir o estimar, y sigue adelante salvo que falle. Dedica el tiempo que quede a releer el enunciado de cada pregunta para asegurarte de que respondiste exactamente a lo que se pedía, en la forma, las unidades y el redondeo indicados. Esta rutina detecta el máximo de errores por cada minuto de revisión.

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