Calculadora de integrales

Q: ¿Qué diferencia hay entre una integral definida y una indefinida?

Una integral indefinida es una familia de funciones F(x) + C. Una integral definida tiene límites de integración y es un número: el área con signo entre la curva y el eje x.

Q: ¿Por qué aparece + C?

Todas las funciones cuya derivada es f difieren en una constante, así que la integral indefinida incluye una constante arbitraria C.

Q: ¿Cuál es la integral de 1/(x^2 + 1)?

Es el arco tangente: ∫ 1/(x^2 + 1) dx = arctan x + C. La calculadora reconoce esta forma inmediata y su versión general 1/(a^2 + u^2).

Sobre la calculadora de integrales

La integración es la operación inversa de la derivación: una primitiva $F$ de $f$ cumple $F'(x) = f(x)$ . Una integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ suma área con signo y, por el teorema fundamental del cálculo, es igual a $F(b) - F(a)$ .

La calculadora prueba los métodos habituales por orden: linealidad y regla de la potencia, integrales inmediatas de la tabla, cambio de variable, integración por partes y fracciones simples para funciones racionales sencillas. Después deriva su propio resultado para confirmarlo. Algunas funciones, como $e^{x^2}$ , no tienen primitiva elemental; para ellas, una integral definida se sigue calculando numéricamente y se indica como tal.

Deja vacíos los dos límites para una integral indefinida, o rellena ambos para una definida.

¿Qué es una integral?

La integración es la operación inversa de la derivación y, a la vez, una forma de sumar infinitos trozos muy pequeños. Una primitiva de $f$ es una función $F$ cuya derivada es $f$ : como $\frac{d}{dx}\frac{x^3}{3} = x^2$ , la función $\frac{x^3}{3}$ es una primitiva de $x^2$ . La integral indefinida $\int f(x)\,dx$ representa toda la familia de primitivas, que difieren entre sí en una constante; de ahí el $+ C$ .

La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ es un número: el área con signo entre la gráfica de $f$ y el eje x desde $a$ hasta $b$ , en la que el área por debajo del eje cuenta como negativa. Se define como el límite de las sumas de Riemann, en las que el intervalo se divide en franjas estrechas y se suman las áreas de los rectángulos. El teorema fundamental del cálculo une las dos ideas: si $F$ es una primitiva cualquiera de $f$ , entonces $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Las integrales calculan totales a partir de tasas: la distancia a partir de la velocidad, el trabajo a partir de la fuerza, la masa a partir de la densidad, la probabilidad a partir de una curva de densidad y los ingresos acumulados a partir de un ritmo de ventas.

Cómo usar la calculadora de integrales

Introduce el integrando, por ejemplo x*e^x o 2x*cos(x^2). También puedes escribir ∫ … dx; para integrar, por ejemplo, de 0 a 1, rellena los campos de límite inferior y superior.
Deja vacíos los límites para obtener una primitiva o introduce ambos para una integral definida. Se admiten pi y e.
Pulsa Integrar para ver el método utilizado, la primitiva y, en las integrales definidas, la evaluación en los dos límites.

Fórmulas

Regla de la potencia

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1

Cambio de variable

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Integración por partes

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Teorema fundamental

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Ejemplo resuelto: ∫ x·eˣ dx

El ejemplo calcula $\int x e^x\,dx$ . El integrando es un polinomio por una exponencial, el caso típico de integración por partes. La calculadora usa el método tabular: deriva $x$ hasta llegar a 0 (obteniendo $x$ , 1, 0), integra $e^x$ el mismo número de veces y combina los productos en diagonal con signos alternos para obtener $xe^x - e^x$ . Sacando factor común, queda $e^x(x - 1) + C$ . El resultado se verifica derivándolo numéricamente y comparándolo con $xe^x$ en varios puntos.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

{e}^{x} \left( x-1\right) + C

Cómo hemos leído tu problema

Calcular la integral indefinida (primitiva) de xe^x respecto de x.

\int x {e}^{x}\,dx

Solución paso a paso

Partir de la integral
$\int x {e}^{x}\,dx$
Integración por partes (método tabular)
Deriva el polinomio x hasta llegar a 0, integra e^x el mismo número de veces y combina los resultados con signos alternos.
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Combinar los productos con signos alternos
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right)$
Simplificar y añadir la constante de integración
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right) + C$

Fórmulas utilizadas

Potencia de una potencia
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1$

Una primitiva F cumple F′(x) = f(x). Como la derivada de cualquier constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

Comprobación

Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra ✓

Explicación detallada

Elegir un método

No existe un único algoritmo que puedas aplicar a mano a todas las integrales, así que la destreza está en reconocer la forma. Empieza por la linealidad: separa las sumas y saca los factores constantes, y después usa la tabla de integrales inmediatas para potencias, exponenciales, $\frac1x$ y funciones trigonométricas. Si una parte del integrando es la derivada de otra parte, prueba un cambio de variable. Si es el producto de dos funciones de distinto tipo, como un polinomio y una exponencial o un polinomio y un seno, prueba la integración por partes. Las funciones racionales piden descomposición en fracciones simples, y formas como $\frac{1}{x^2 + 1}$ llevan a funciones trigonométricas inversas.

La calculadora prueba estos métodos en un orden parecido y nombra el que ha funcionado, así que sus pasos sirven también de guía para saber qué método elegir la próxima vez.

El cambio de variable, paso a paso

El cambio de variable invierte la regla de la cadena. En $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ la función interior es $x^2$ y su derivada $2x$ aparece como factor, así que se toma $u = x^2$ y $du = 2x\,dx$ . La integral pasa a ser $\int \cos u\,du = \sin u$ , y al deshacer el cambio se obtiene $\sin(x^2) + C$ . La calculadora muestra cada una de estas líneas. Si la derivada de la función interior solo aparece salvo un factor constante, por ejemplo en $x\cos(x^2)$ , el mismo cambio funciona tras ajustar por $\frac12$ .

Integración por partes y método tabular

La integración por partes invierte la regla del producto: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Elige como $u$ el factor que se simplifica al derivarlo, normalmente el polinomio, y como $dv$ el factor fácil de integrar. Cuando $u$ es un polinomio de grado $n$ , repetir el proceso $n$ veces lo reduce a cero, y el método tabular organiza esas repeticiones en dos columnas. Por eso el ejemplo termina tras dos filas: la derivada de $x$ es 1 y después 0.

Integrales definidas y límites de integración

Rellena el límite inferior y el superior para convertir el problema en una integral definida. La calculadora halla primero una primitiva y después aplica el teorema fundamental: para $\int_0^3 x^2\,dx$ usa $F(x) = \frac{x^3}{3}$ y calcula $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$ . Los límites pueden ser expresiones como pi/2. Si solo necesitas el número, la calculadora de integrales definidas funciona también cuando no existe primitiva elemental, porque evalúa el área numéricamente.

Cuando no hay primitiva elemental

Algunas funciones de aspecto sencillo, como $e^{x^2}$ , $\frac{\sin x}{x}$ y $\sqrt{1 + x^3}$ , tienen primitivas que no pueden escribirse como una combinación finita de polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas. Es un hecho demostrado, no una carencia de método. Con estas entradas, la calculadora indica que no ha encontrado una primitiva en lugar de inventarla, y una integral definida en un intervalo concreto se puede seguir calculando numéricamente.

Por ejemplo, la calculadora de integrales definidas evalúa numéricamente $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ e indica que el resultado es una aproximación.

Por qué importa la constante de integración

Como la derivada de cualquier constante es cero, $\frac{x^3}{3}$ , $\frac{x^3}{3} + 5$ y $\frac{x^3}{3} - 2$ tienen todas derivada $x^2$ . Sus gráficas son traslaciones verticales unas de otras, y el $+ C$ recoge toda esa familia. La constante queda determinada cuando se dispone de información adicional, llamada condición inicial. Si una velocidad es $v(t) = 2t$ y la posición en el instante 0 es 4, al integrar se obtiene $s(t) = t^2 + C$ , y $s(0) = 4$ obliga a que $C = 4$ . En una integral definida, la constante se cancela en $F(b) - F(a)$ , y por eso nunca aparece en un resultado numérico.

Área con signo frente a área total

Una integral definida cuenta como positiva el área por encima del eje x y como negativa la que queda por debajo. En un periodo completo, $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ , aunque la curva encierra una cantidad positiva de área: el arco por encima del eje y el hueco por debajo se cancelan exactamente. Cuando un problema pide el área total entre una curva y el eje, halla dónde cambia de signo la función, integra cada tramo por separado y suma los valores absolutos. Para $\sin x$ en $[0, 2\pi]$ se obtiene $2 + 2 = 4$ .

La misma distinción aparece en los problemas de movimiento. Integrar la velocidad da la variación neta de la posición, mientras que integrar la rapidez, el valor absoluto de la velocidad, da la distancia total recorrida.

Cómo leer los pasos

Cada paso muestra una transformación de la integral, con la regla o la entrada de la tabla en el título y la fórmula debajo. Los pasos de linealidad dividen el problema en integrales más pequeñas que se resuelven una a una y luego se vuelven a juntar, así que un integrando largo produce una lista más larga de pasos cortos en lugar de un gran salto. Cuando se usa un cambio de variable, la línea que introduce $u$ muestra también $du$ , y ahí se ve por qué funciona el método. El último paso siempre añade la constante de integración en una integral indefinida, o sustituye los límites en una definida.

Errores frecuentes

Olvidar la constante de integración $+\,C$ en las integrales indefinidas.
Usar la regla de la potencia para $\int x^{-1}dx$ ; el resultado es $\ln|x| + C$ .
No ajustar por la derivada interior: $\int \cos 2x\,dx = \frac12\sin 2x + C$ .
Integrar a través de una asíntota vertical, como en $\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx$ , como si fuera una integral ordinaria.
Olvidar cambiar los límites o deshacer el cambio de variable después de un cambio de variable.
Integrar un producto como el producto de las integrales; $\int x e^x\,dx$ no es $\frac{x^2}{2}e^x$ .

Consejos

Busca una función y su derivada que aparezcan juntas; es señal de un cambio de variable.
En la integración por partes, elige como $u$ el factor que se simplifica al derivarlo.
Comprueba cualquier primitiva derivándola.
Al derivar una primitiva debes recuperar exactamente el integrando.
Busca la derivada de una función interior dentro del integrando; indica que conviene un cambio de variable.
Para elegir $u$ en la integración por partes, sigue el orden: logarítmicas, trigonométricas inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre una integral definida y una indefinida?

Una integral indefinida es una familia de funciones $F(x) + C$ . Una integral definida tiene límites de integración y es un número: el área con signo entre la curva y el eje x.

¿Qué métodos de integración admite?

Linealidad, regla de la potencia, integrales inmediatas de la tabla, cambio de variable lineal y general, integración por partes (incluidos los casos repetidos con el método tabular) y fracciones simples con denominadores cuadráticos.

¿Por qué aparece + C?

Todas las funciones cuya derivada es $f$ difieren en una constante, así que la integral indefinida incluye una constante arbitraria $C$ .

¿Qué pasa si no se encuentra una primitiva?

La calculadora lo indica en lugar de adivinar. Si das límites, calcula igualmente la integral definida de forma numérica con la regla de Simpson adaptativa y marca el resultado como aproximado.

¿Puedo usar pi como límite?

Sí. Los límites pueden ser números o expresiones como pi, pi/2 o e.

¿Resuelve integrales impropias?

Esta calculadora, todavía no. Si el integrando no está definido o se hace infinito dentro del intervalo, indica que la integral es impropia en lugar de devolver un número engañoso.

¿Cómo elijo u en la integración por partes?

Elige el factor que se simplifica al derivarlo, normalmente un polinomio o un logaritmo, y toma como $dv$ el factor fácil de integrar. Para $\int x e^x\,dx$ , toma $u = x$ y $dv = e^x\,dx$ .

¿Cómo sé cuándo usar un cambio de variable?

Busca una función dentro de otra cuya derivada aparezca también como factor. En $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ , la función interior $x^2$ tiene derivada $2x$ , así que $u = x^2$ funciona.

¿Cuál es la integral de 1/(x^2 + 1)?

Es el arco tangente: $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$ . La calculadora reconoce esta forma inmediata y su versión general $\frac{1}{a^2 + u^2}$ .

Prueba la calculadora de integrales

Escribe un integrando y obtén su primitiva o su integral definida, con cada método explicado y comprobado.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA