Calculadora de derivadas parciales

Sobre la calculadora de derivadas parciales

La mayoría de las magnitudes en ciencia y economía dependen de más de una variable. El volumen de un cilindro depende de su radio y de su altura, el beneficio de una empresa depende del precio y del gasto en publicidad, y la temperatura de una habitación depende de las tres coordenadas. Una derivada parcial responde a una pregunta concreta sobre una función así: ¿con qué rapidez cambia el resultado cuando varía una sola variable y todas las demás permanecen fijas?

Esta calculadora obtiene esas tasas de forma exacta. Escribe una función como $x^2 y + \sin(xy)$ , elige la variable, y la calculadora deriva término a término con las reglas de la suma, del factor constante, de la potencia, del producto y de la cadena, tratando cualquier otra letra como una constante. Cada regla aparece como un paso propio, así que puedes ver por qué $y$ se mantiene delante de $\cos(xy)$ y por qué un término como $4y$ desaparece al derivar respecto de $x$ .

Las derivadas de orden superior funcionan igual. Introduce xx para la derivada parcial segunda en $x$ , o xy para la derivada cruzada que deriva primero en $x$ y después en $y$ . Añade un punto como x = 1, y = 2 para evaluar el resultado en él. Cada resultado se contrasta con una comprobación independiente antes de mostrarse.

¿Qué es una derivada parcial?

Para una función $f(x, y)$ , la derivada parcial respecto de $x$ , que se escribe $\frac{\partial f}{\partial x}$ o $f_x$ , es la derivada ordinaria que se obtiene al tratar $y$ como un número fijo. Formalmente, $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . El símbolo curvado $\partial$ indica que hay otras variables y que se mantienen constantes.

Geométricamente, la gráfica de $f(x, y)$ es una superficie. Al cortarla con el plano $y =$ constante se obtiene una curva, y $f_x$ es la pendiente de esa curva. Del mismo modo, $f_y$ es la pendiente del corte en la dirección de $y$ . Juntas, las derivadas parciales primeras forman el vector gradiente $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , que apunta en la dirección de máximo crecimiento.

Las derivadas parciales aparecen en optimización (los puntos críticos son aquellos en los que se anulan todas las derivadas parciales primeras), en física (las ecuaciones del calor, de ondas y de Laplace se escriben con ellas), en economía (coste marginal y utilidad marginal) y en aprendizaje automático, donde los gradientes guían el entrenamiento de cualquier red neuronal.

Cómo usar la calculadora de derivadas parciales

Escribe la función usando cualquier letra como variable, por ejemplo x^2 y + sin(x y) o x^3 y^2 + 4y. Un espacio o un * entre letras indica multiplicación.
En el segundo campo, introduce la variable respecto de la que quieres derivar, como x o y.
Para órdenes superiores, escribe una letra por cada derivación, en orden: xx para f_xx, xy para f_xy (primero x, después y), yyx, etc.
Si quieres, da un valor a cada variable, como x = 1, y = 2, para evaluar la derivada en ese punto.
Pulsa Derivar y sigue los pasos, cada uno con la regla que utiliza.

Fórmulas

Definición

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Notación de las derivadas cruzadas

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Teorema de Schwarz (Clairaut)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{si ambas son continuas}

Gradiente

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Regla de la cadena en una derivada parcial

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Ejemplo resuelto: ∂/∂x de x²y + sin(xy)

El ejemplo resuelto se calcula en directo para $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ , derivada respecto de $x$ . Con $y$ constante, el primer término es una constante por $x^2$ , así que se convierte en $2xy$ . El segundo término necesita la regla de la cadena: la derivada de $\sin u$ es $\cos u$ por $\frac{\partial u}{\partial x}$ , y para $u = xy$ esa derivada interior es $y$ .

Al sumar las partes se obtiene $2xy + y\cos(xy)$ , que la calculadora factoriza como $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Fíjate en que $y$ nunca se deriva; se comporta exactamente como lo haría el número 5 si estuviera en el mismo lugar.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Cómo hemos leído tu problema

Calcular la derivada parcial primera f_x de f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Solución paso a paso

Identificar la función y el orden de derivación
Derivar respecto de x; las demás variables (y) se mantienen constantes.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Regla de la suma: derivar cada término por separado
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Regla de la cadena — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Regla del factor constante
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Regla del factor constante
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Simplificar: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Fórmulas utilizadas

Definición
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Derivadas cruzadas (Clairaut)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{si ambas son continuas}$

Una derivada parcial mide cómo cambia f cuando solo varía una variable: las demás se tratan exactamente como números, así que se aplican las reglas de derivación habituales.

Comprobación

Contrastado con un derivador simbólico independiente en varios puntos de prueba ✓

Explicación detallada

Mantener constantes las demás variables

La única idea detrás de cualquier derivada parcial es que las variables respecto de las que no derivas quedan congeladas. Si te cuesta verlo, sustitúyelas primero por un número concreto. Derivar $x^3 y^2 + 4y$ respecto de $y$ es como derivar $8y^2 + 4y$ cuando $x = 2$ : el resultado tiene la forma $2 \cdot 8y + 4$ , y al volver a poner $x^3$ en lugar de 8 se obtiene $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Esto explica también qué términos desaparecen. Un término que solo contiene variables congeladas es una constante, así que su derivada parcial es cero. En $f = x^2 + 3xy$ , la derivada parcial respecto de $y$ ignora por completo $x^2$ y da $f_y = 3x$ .

Las reglas de siempre siguen valiendo

La derivación parcial usa exactamente las mismas reglas que el cálculo de una variable: potencia, suma, factor constante, producto, cociente y cadena. Lo único que cambia es la contabilidad. Un producto de dos factores que contienen $x$ necesita la regla del producto al derivar en $x$ , pero si uno de los factores solo contiene $y$ , es simplemente un factor constante.

La regla de la cadena es donde se cometen más errores. Cuando una función se aplica a una expresión con varias variables, como $e^{xy}$ o $\ln(x^2 + y^2)$ , la derivada interior también es una derivada parcial. Así, $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ y $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Derivadas parciales de segundo orden y cruzadas

Al derivar de nuevo una derivada parcial se obtiene una derivada parcial segunda. Una función de dos variables tiene cuatro: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ y las derivadas cruzadas $f_{xy}$ y $f_{yx}$ . Los subíndices se leen de izquierda a derecha, así que $f_{xy}$ significa derivar primero en $x$ y después en $y$ . La notación de fracción $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ se lee de derecha a izquierda y describe lo mismo.

Para $f = x^2 y^3$ , derivar en $x$ da $2xy^3$ , y derivar después en $y$ da $f_{xy} = 6xy^2$ , que vale 24 en el punto $(1, 2)$ . Derivar en el otro orden da $3x^2y^2$ y después de nuevo $6xy^2$ . Esa coincidencia es el teorema de Schwarz, también llamado de Clairaut: para funciones con derivadas parciales segundas continuas, el orden de derivación cruzada no importa. La calculadora lo indica como comprobación siempre que calcula una derivada cruzada.

Las derivadas parciales segundas tienen usos concretos. En el criterio de la segunda derivada para un punto crítico de $f(x, y)$ , la cantidad $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ decide si el punto es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de silla.

Evaluar en un punto e interpretar el número

Una derivada parcial es a su vez una función de todas las variables, así que su valor depende del punto en que estés. Para $f = x^2 + 3xy$ , la derivada $f_x = 2x + 3y$ vale 8 en $(1, 2)$ . Eso significa que, cerca de ese punto, aumentar $x$ una cantidad pequeña $\Delta x$ manteniendo $y = 2$ aumenta $f$ aproximadamente en $8\,\Delta x$ .

Las unidades hacen concreta la interpretación. Si $V(r, h) = \pi r^2 h$ es el volumen de un cilindro en centímetros cúbicos, entonces $V_r = 2\pi r h$ se mide en centímetros cúbicos por centímetro de radio e indica lo sensible que es el volumen a un cambio de radio cuando la altura está fija.

Errores frecuentes

Derivar también la variable que se mantiene constante, por ejemplo escribir $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
Mantener un término como $4y$ al derivar respecto de $x$ ; es una constante y da 0.
Olvidar la derivada parcial interior en la regla de la cadena, por ejemplo escribir $\cos(xy)$ como $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
Leer $f_{xy}$ en el orden equivocado; el orden de los subíndices es el orden de derivación.
Confundir $\frac{\partial f}{\partial x}$ con la derivada total $\frac{df}{dx}$ cuando la propia $y$ depende de $x$ .

Consejos

Sustituye mentalmente las variables congeladas por números si pierdes de vista qué es constante.
Saca las constantes antes de derivar; al derivar en $x$ , $x^2 y^3$ es $y^3$ por $x^2$ .
Usa el teorema de Schwarz como comprobación gratuita: calcula $f_{xy}$ y $f_{yx}$ y compáralas.
Escribe $\nabla f$ en cuanto tengas las dos derivadas parciales primeras; la mayoría de las aplicaciones necesitan el gradiente completo.
Simplifica la primera derivada antes de calcular la segunda para que las expresiones sigan siendo manejables.
Comprueba el signo de una derivada parcial en un punto para ver si la función crece o decrece en esa dirección.

Preguntas frecuentes

¿Cómo escribo una función de dos variables?

Usa letras para las variables y un espacio o un * para la multiplicación, por ejemplo x^2 y + sin(x y) o x^2*y + sin(x*y). Cualquier letra que no sea el nombre de una función, como sin o log, se trata como una variable.

¿Cómo obtengo una derivada parcial segunda como f_xx?

Escribe la variable una vez por cada derivación en el campo «Derivar respecto de»: xx para f_xx, yy para f_yy. La calculadora deriva varias veces y muestra cada etapa por separado.

¿Es f_xy lo mismo que f_yx?

Para casi todas las funciones que aparecen en un curso, sí. El teorema de Schwarz lo garantiza siempre que las derivadas cruzadas sean continuas. La calculadora muestra la comparación para que veas que coinciden.

¿Qué significa el símbolo ∂?

Es una d redondeada que se usa en las derivadas parciales. Indica que la función tiene varias variables y que todas, salvo la del denominador, se mantienen constantes durante la derivación.

¿Puede evaluar la derivada parcial en un punto?

Sí. Introduce valores para todas las variables, como x = 1, y = 2, en el campo opcional. La calculadora los sustituye en la derivada final y da el número; por ejemplo, f_x = 2x + 3y vale 8 en (1, 2).

¿Funciona con tres variables?

Sí. Una función como x y z o x^2 + y z se puede derivar respecto de cualquiera de sus letras. Para x y z, la derivada parcial respecto de z es xy.

¿En qué se diferencia una derivada parcial de una derivada ordinaria?

Las reglas son idénticas, pero una derivada ordinaria trabaja con una sola variable, mientras que una derivada parcial elige una de varias variables y trata el resto como constantes. El resultado sigue siendo una función de todas las variables.

¿Qué es el gradiente y cómo lo forman las derivadas parciales?

El gradiente es el vector de todas las derivadas parciales primeras, como ⟨f_x, f_y⟩. Apunta en la dirección en la que la función crece más deprisa, y su módulo es esa tasa máxima de crecimiento.

¿Por qué mi derivada parcial no se parece a la solución del libro?

Las expresiones equivalentes se pueden escribir de muchas formas. La calculadora puede sacar un factor común, como en y(2x + cos(xy)) en lugar de 2xy + y cos(xy), u ordenar los factores de otra manera. Desarrolla las dos formas, o evalúalas en el mismo punto, para confirmar que coinciden.

Prueba la calculadora de derivadas parciales

Escribe una función de varias variables y obtén fx, fy o cualquier derivada cruzada con cada regla explicada.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA