Cálculo

Las reglas de derivación explicadas con ejemplos resueltos

Q: ¿La regla de la potencia sirve para exponentes negativos y fraccionarios?

Sí. Se cumple para cualquier exponente real, así que d/(dx)x^(-1) = -x^(-2) y d/(dx)x^(1/3) = 1/3x^(-2/3). Reescribe primero las raíces y los inversos como potencias.

Q: ¿Puedo evitar la regla del cociente?

A menudo, sí. Escribe f/g como f · g^(-1) y usa las reglas del producto y de la cadena, o simplifica antes la fracción. Los dos caminos dan el mismo resultado, aunque puede que haya que simplificarlo para que se vea idéntico.

Q: ¿Cómo sé cuándo usar la regla de la cadena?

Siempre que dentro de una función haya algo distinto de x a secas: una potencia de un paréntesis, una función trigonométrica de 2x, e elevado a algo que no sea x, o un logaritmo de una expresión. Si el interior es simplemente x, su derivada es 1 y la regla de la cadena no cambia nada.

Q: ¿Por qué la derivada de e elevado a x es ella misma?

El número e ≈ 2.71828 es exactamente la base para la que la pendiente de a^x en x = 0 vale 1. Con esa propiedad, la definición por límites demuestra que la pendiente en cada punto es igual al valor de la función en ese punto.

Por MathSolver Pro Editorial Team · Publicado 25 de octubre de 2026

Calcular derivadas a partir de la definición por límites es lento. Un pequeño conjunto de reglas, cada una demostrada una sola vez a partir de esa definición, permite derivar casi cualquier fórmula en unas pocas líneas. Esta guía explica cada regla, por qué funciona y cómo combinarlas.

Por qué reglas en lugar de límites

La derivada se define como un límite, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , y el artículo qué es una derivada aplica esa definición a funciones sencillas. Hacerlo en cada problema sería agotador. En su lugar, los matemáticos demostraron una vez reglas generales, y esas reglas resuelven hoy polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y cualquier combinación de ellos.

Piensa en las reglas como dos grupos: las derivadas de las piezas básicas y las reglas para combinar piezas mediante sumas, productos, cocientes y composiciones.

Las reglas básicas: constantes, potencias y sumas

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Una constante nunca cambia, así que su tasa de variación es cero. La regla de la potencia sirve para cualquier exponente real $n$ , no solo para los enteros positivos, lo que la hace mucho más útil de lo que parece a primera vista. Las constantes multiplicativas se mantienen tal cual, y la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

Ejemplo 1: un polinomio

Deriva $5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ término a término.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

Ejemplo 2: raíces e inversos

Primero reescribe como potencias: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ y $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Antes de derivar, reescribe como potencias las raíces y las fracciones con $x$ en el denominador. La mayoría de los errores con la regla de la potencia se deben a saltarse este paso.

Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Merece la pena memorizar estas derivadas, porque todos los problemas más largos se construyen con ellas:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

La función $e^x$ es su propia derivada, y por eso $e$ aparece por todo el cálculo. Las reglas trigonométricas exigen el ángulo en radianes; en grados aparece un factor adicional de $\frac{\pi}{180}$ . Las derivadas trigonométricas restantes son $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ y $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ , y todas se deducen de la regla del cociente que veremos más abajo.

La regla del producto

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Para ver por qué, imagina un rectángulo de lados $f$ y $g$ . Cuando los dos lados crecen un poco, el área gana una franja de tamaño $f' \cdot g$ a lo largo de un lado y otra de tamaño $f \cdot g'$ a lo largo del otro, más una diminuta esquina que desaparece en el límite.

Ejemplo 3: $y = x^2\sin x$

Sea $f = x^2$ y $g = \sin x$ , de modo que $f' = 2x$ y $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
En $x = \pi$ : $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

La regla del cociente

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Aquí el orden importa por culpa de la resta. Una forma habitual de recordarla es: la derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, partido por el de abajo al cuadrado, donde el de arriba es el numerador y el de abajo, el denominador.

Ejemplo 4: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Simplifica el numerador: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ , así que $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

Al aplicarla a $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ se obtiene $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ , lo que confirma la tabla anterior.

La regla de la cadena

La regla de la cadena sirve para las composiciones, es decir, funciones dentro de funciones. Si $y = f(g(x))$ , entonces:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Dicho con palabras: deriva la función exterior dejando intacto el interior y multiplica después por la derivada del interior. En notación de Leibniz, con $u = g(x)$ , se escribe $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ . Las tasas se multiplican: si $u$ cambia 3 veces más rápido que $x$ e $y$ cambia 2 veces más rápido que $u$ , entonces $y$ cambia 6 veces más rápido que $x$ . Reconocer la función interior y la exterior es la destreza que se practica en la composición de funciones.

Ejemplo 5: cuatro derivadas con la regla de la cadena

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Combinar las reglas

Los problemas reales mezclan reglas. Trabaja de fuera hacia dentro: decide cuál es la última operación de la expresión, aplica su regla y después ocúpate de cada parte.

Ejemplo 6: $y = xe^{3x}$

La operación más externa es un producto, así que usa la regla del producto.
La derivada de $e^{3x}$ requiere la regla de la cadena: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

Ejemplo 7: derivación logarítmica de $y = x^x$

No sirve ni la regla de la potencia ni la de la exponencial, porque varían tanto la base como el exponente.
Toma logaritmos: $\ln y = x\ln x$ .
Deriva los dos miembros, aplicando la regla de la cadena en el izquierdo: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Por tanto, $y' = x^x(\ln x + 1)$ para $x > 0$ .

Cuando no se puede despejar $y$ , como en $x^2 + y^2 = 25$ , la regla de la cadena sigue funcionando mediante la derivación implícita.

Errores frecuentes

Olvidar la derivada interior en la regla de la cadena, por ejemplo escribir $\cos(x^2)$ como derivada de $\sin(x^2)$ .
Multiplicar las derivadas en un producto en lugar de usar la regla del producto.
Invertir el orden en el numerador de la regla del cociente, lo que cambia el signo.
Aplicar la regla de la potencia a $e^x$ o a $2^x$ ; son funciones exponenciales, no potencias.
Usar grados en las derivadas trigonométricas.

Para comprobar un resultado, la calculadora de derivadas muestra qué regla aplica en cada paso, y la calculadora gráfica te permite comparar la pendiente de una curva con los valores de tu derivada.

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas tienen derivadas algebraicas, algo que sorprende a muchos estudiantes la primera vez que las ven. Se obtienen derivando implícitamente la relación inversa; por ejemplo, si $y = \arcsin x$ , entonces $\sin y = x$ , y al derivar los dos miembros se obtiene $\cos y \cdot y' = 1$ . Como $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ en el recorrido del arcoseno, se llega al resultado:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Estos dos resultados importan más en la integración que en la derivación, porque explican por qué integrales como $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ dan lugar a un arcotangente.

Derivadas sucesivas

Al derivar una derivada se obtiene la segunda derivada, y cada vez se aplican las mismas reglas. Para $y = x^4$ , las derivadas son $4x^3$ , después $12x^2$ , después $24x$ , después 24, y todas las siguientes valen 0. Un polinomio de grado $n$ siempre se anula tras $n + 1$ derivaciones.

El seno y el coseno, en cambio, forman un ciclo: las derivadas de $\sin x$ son $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ y de nuevo $\sin x$ , y se repiten cada cuatro pasos. La exponencial $e^x$ no cambia nunca. Estos patrones son el punto de partida para construir las series de Taylor, que aproximan funciones usando todas sus derivadas en un único punto.

Problemas de práctica con soluciones

Intenta resolver cada uno antes de leer la solución. Decide primero cuál es la regla más externa.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Solución: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Solución: $x^2e^x(3 + x)$ , por la regla del producto.
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Solución: $-5\sin(5x + 1)$ , por la regla de la cadena.
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Solución: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ , por la regla del cociente.
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Solución: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ , por la regla de la cadena con la potencia $\frac{1}{2}$ .

Las reglas en contexto: tasas que dependen unas de otras

La regla de la cadena es lo que hace posibles los problemas de tasas relacionadas. Supón que una onda circular se extiende por un estanque de modo que su radio crece 2 cm por segundo. El área es $A = \pi r^2$ , y al derivar respecto del tiempo se obtiene $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ . Cuando el radio mide 10 cm, el área crece a razón de $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ centímetros cuadrados por segundo.

La misma idea responde a preguntas sobre una escalera que resbala por una pared, un globo que se infla o la sombra de una persona que se aleja de una farola. En cada caso se escribe una ecuación que relaciona las magnitudes, se deriva cada término respecto del tiempo con la regla de la cadena y después se sustituyen los valores en el instante que interesa. Sustituir antes de derivar es un error clásico, porque convierte en constantes magnitudes que están cambiando.

Preguntas frecuentes

¿La regla de la potencia sirve para exponentes negativos y fraccionarios?

Sí. Se cumple para cualquier exponente real, así que $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ y $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Reescribe primero las raíces y los inversos como potencias.

¿Puedo evitar la regla del cociente?

A menudo, sí. Escribe $\frac{f}{g}$ como $f \cdot g^{-1}$ y usa las reglas del producto y de la cadena, o simplifica antes la fracción. Los dos caminos dan el mismo resultado, aunque puede que haya que simplificarlo para que se vea idéntico.

¿Cómo sé cuándo usar la regla de la cadena?

Siempre que dentro de una función haya algo distinto de $x$ a secas: una potencia de un paréntesis, una función trigonométrica de $2x$ , $e$ elevado a algo que no sea $x$ , o un logaritmo de una expresión. Si el interior es simplemente $x$ , su derivada es 1 y la regla de la cadena no cambia nada.

¿Por qué la derivada de e elevado a x es ella misma?

El número $e \approx 2.71828$ es exactamente la base para la que la pendiente de $a^x$ en $x = 0$ vale 1. Con esa propiedad, la definición por límites demuestra que la pendiente en cada punto es igual al valor de la función en ese punto.

¿En qué orden debo aplicar las reglas de derivación?

Empieza por la última operación que harías si evaluaras la expresión para un número. Si es una multiplicación, usa la regla del producto; si es aplicar una función a un paréntesis, usa la regla de la cadena. Después hazte la misma pregunta con cada parte, avanzando hacia dentro.

MathSolver Pro Editorial Team

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