¿Qué es una integral? Una explicación para principiantes

Integrar es sumar

Si un coche circula a una velocidad constante de 60 km por hora durante 2 horas, recorre $60 \times 2 = 120$ km. En una gráfica de la velocidad frente al tiempo, esa distancia es el área de un rectángulo de altura 60 y anchura 2. Cuando la velocidad cambia, la región bajo la gráfica ya no es un rectángulo, pero la distancia sigue siendo el área bajo la curva de la velocidad. Hallar esa área es lo que hace una integral.

En general, siempre que una magnitud sea una tasa multiplicada por una cantidad, como velocidad por tiempo, densidad por volumen o fuerza por distancia, y la tasa varíe, el total es una integral. La derivada descompone un total en tasas; la integral reconstruye el total a partir de las tasas.

Sumas de Riemann: aproximar con rectángulos

Para hallar el área bajo $f(x) = x^2$ desde $x = 0$ hasta $x = 2$, divide el intervalo en 4 franjas de anchura $0.5$. Si tomas como altura el extremo derecho de cada franja, obtienes rectángulos de alturas $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$ y $f(2)$:

Si usas en cambio los extremos izquierdos, obtienes $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$. El área real está entre ambos valores. A medida que crece el número de franjas $n$, las dos sumas se acercan al mismo valor, y ese límite es la integral definida:

El signo integral es una S alargada, de «suma»; $f(x)$ es la altura y $dx$ representa la anchura infinitamente fina. Para $x^2$ en $[0, 2]$ el límite vale exactamente $\frac{8}{3} \approx 2.667$. La idea de límite, explicada en nuestra guía de límites, es lo que convierte una aproximación en un valor exacto.

Área con signo

Donde la gráfica queda por debajo del eje de abscisas, $f(x)$ es negativa, así que los rectángulos aportan cantidades negativas. Por tanto, la integral definida mide un área con signo: el área por encima del eje menos el área por debajo.

Por ejemplo, $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, porque el arco que queda por encima del eje entre 0 y $\pi$ compensa exactamente el que queda por debajo entre $\pi$ y $2\pi$. Cada arco tiene área 2, así que el área geométrica total es 4. Para hallar el área total, divide el intervalo donde la función cambia de signo y suma los valores absolutos de cada parte.

Primitivas e integral indefinida

Una primitiva de $f$ es una función $F$ cuya derivada es $f$. Como $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$, la función $x^3$ es una primitiva de $3x^2$. También lo es $x^3 + 7$, o $x^3$ más cualquier constante, porque la derivada de una constante es cero. La integral indefinida las reúne todas:

Cada regla básica de derivación, leída al revés, da una regla de integración:

El teorema fundamental del cálculo

Los dos significados de la integral, un área obtenida como límite de sumas y una familia de primitivas, están conectados por el teorema fundamental del cálculo. Su forma práctica, conocida también como regla de Barrow, dice que si $F$ es cualquier primitiva de una función continua $f$, entonces:

Es algo extraordinario: una suma infinita de rectángulos se reduce a dos valores de una función. La otra parte del teorema dice que la función de área acumulada $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ tiene derivada $f(x)$, así que la integración y la derivación se deshacen mutuamente.

La diferencia entre los dos tipos de integral se estudia con más detalle en integrales definidas e indefinidas.

Dos técnicas más allá de las reglas básicas

La integración no tiene una regla del producto ni una regla de la cadena que funcionen mecánicamente siempre, así que algunas técnicas invierten esas reglas de derivación.

Aplicaciones

• Distancia a partir de la velocidad: si $v(t) = 3t^2$ m/s, el desplazamiento en los primeros 2 segundos es $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m.
• Área entre curvas: entre $y = x$ e $y = x^2$ en $[0, 1]$ el área es $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
• Valor medio: el valor medio de $f$ en $[a, b]$ es $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• Probabilidad: las áreas bajo una curva de densidad de probabilidad dan probabilidades, como ocurre con la curva normal en la que se basan las puntuaciones z.
• Los volúmenes, el trabajo de una fuerza variable, el coste total a partir del coste marginal y los centros de masa son todos integrales.

Errores frecuentes

• Olvidar el $+ C$ en una integral indefinida.
• Aplicar la regla de la potencia a $\frac{1}{x}$, lo que supondría dividir entre cero; su integral es $\ln|x|$.
• Creer que $\int f g\,dx$ es igual a $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$.
• Interpretar una integral definida como el área total cuando parte de la gráfica está por debajo del eje.
• Calcular $F(a) - F(b)$ en lugar de $F(b) - F(a)$.

La calculadora de integrales halla primitivas mostrando cada paso, y la calculadora de integrales definidas evalúa integrales en un intervalo e indica su valor numérico.

Por qué tiene sentido el teorema fundamental

Volvamos al coche. Supón que $s(t)$ es su posición y $v(t) = s'(t)$ su velocidad. Sumar la velocidad por intervalos de tiempo diminutos a lo largo de un trayecto da la variación total de la posición, que es la posición final menos la inicial. En símbolos, $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$, que es exactamente el teorema con $s$ en el papel de primitiva.

Visto así, el teorema es casi de sentido común: sumar todos los pequeños cambios de una magnitud da su cambio total. Lo que lo hace tan potente es que convierte cálculos de límites difíciles en una simple resta, siempre que se pueda encontrar una primitiva.

Integración numérica

Cuando no se puede escribir una primitiva, o cuando la función solo se conoce a partir de mediciones, las integrales se estiman numéricamente. Las mejores estimaciones se obtienen con figuras mejores que los rectángulos. La regla del trapecio promedia las sumas izquierda y derecha; para $x^2$ en $[0, 2]$ con 4 franjas da $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. La regla del punto medio usa la altura en el centro de cada franja y da $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$. Ambas se acercan mucho más al valor exacto $2.667$ que cualquiera de las sumas laterales.

La regla de Simpson, que ajusta parábolas a grupos de tres puntos, es exacta para esta función y para cualquier polinomio de tercer grado. Los programas informáticos usan versiones refinadas de estas ideas para calcular integrales con muchas cifras decimales en una fracción de segundo.

Un poco de historia

Hallar áreas sumando franjas finas es una idea antigua. Arquímedes calculó el área de un segmento parabólico hace más de dos mil años con un método muy parecido a un límite. El gran avance del siglo diecisiete, atribuido a Newton y Leibniz, fue el teorema fundamental, que demostró que las áreas podían hallarse invirtiendo la derivación. Bernhard Riemann dio a las sumas su definición rigurosa moderna en el siglo diecinueve, y por eso llevan su nombre.

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