Integral definida frente a integral indefinida

La diferencia de un vistazo

• Notación: indefinida $\int f(x)\,dx$; definida $\int_a^b f(x)\,dx$, con un límite inferior $a$ y un límite superior $b$.
• Resultado: la indefinida da una función más una constante; la definida da un número.
• Significado: la indefinida responde a qué funciones tienen esta derivada; la definida, a cuánto se acumula entre $a$ y $b$.
• Constante: la indefinida necesita $+ C$; en una integral definida la constante se cancela.
• Comprobación: deriva el resultado de una indefinida para recuperar el integrando; estima el de una definida a partir de una gráfica o con rectángulos.

Si las integrales son nuevas para ti, empieza por qué es una integral, que construye las dos ideas desde cero.

Integrales indefinidas: familias de primitivas

La integral indefinida de $f$ es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es $f$. Como sumar una constante no cambia la derivada, el resultado es siempre una familia de curvas, cada una desplazada verticalmente respecto de las demás:

Para elegir un miembro de la familia hace falta información adicional, normalmente un valor conocido. Esto se llama problema de valor inicial.

La física lo utiliza constantemente. Si la aceleración es constante e igual a $-9.8$ m/s², al integrar una vez se obtiene la velocidad $v(t) = -9.8t + v_0$, y al integrar de nuevo, la altura $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. Las dos constantes son la velocidad inicial y la altura inicial.

Integrales definidas: números a partir de límites de sumas

Una integral definida se define como un límite de sumas de Riemann y representa el área con signo entre la gráfica y el eje de abscisas desde $a$ hasta $b$. El teorema fundamental del cálculo proporciona el atajo para calcularla:

Usar $F + C$ en lugar de $F$ no cambia nada, porque $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Por eso se prescinde de la constante.

Propiedades de las integrales definidas

Las sumas y las constantes multiplicativas atraviesan el signo integral, igual que con las derivadas. La simetría puede ahorrar mucho trabajo: si $f$ es impar, es decir, $f(-x) = -f(x)$, entonces $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Por ejemplo, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$ porque las mitades negativa y positiva se compensan. Si $f$ es par, $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, así que $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

El valor medio de $f$ en $[a, b]$ es $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Para $x^2$ en $[0, 3]$ vale $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: un rectángulo de altura 3 y anchura 3 tiene la misma área que la región bajo la parábola.

El cambio de variable funciona distinto en cada una

En una integral indefinida, haces el cambio, integras y después deshaces el cambio para volver a la variable original. En una integral definida, puedes cambiar los límites para que correspondan a la nueva variable y no volver nunca atrás.

Un error habitual es cambiar a $u$ pero conservar los límites antiguos de $x$. O cambias los límites o vuelves a $x$ antes de evaluar, pero nunca mitad y mitad.

Donde se encuentran las dos: funciones de acumulación

Una integral definida con el límite superior variable es una función: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Es una primitiva concreta de $f$, la que vale 0 en $x = a$. Por ejemplo, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

La primera parte del teorema fundamental dice que $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Así, $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, aunque esa integral no tenga una fórmula elemental. Si el límite superior es a su vez una función, la regla de la cadena añade un factor: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Las reglas de derivación se resumen en las reglas de derivación explicadas.

Integrales impropias

Una integral definida en un intervalo infinito, o de una función que se dispara dentro del intervalo, se llama impropia y se define como un límite. Por ejemplo:

Así pues, una región infinitamente larga puede tener un área finita. En cambio, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ crece sin cota, así que diverge. Esta comparación es la base del criterio de la integral que se ve en criterios de convergencia de series.

¿Cuál de las dos pide el enunciado?

Fíjate en si el signo integral lleva límites o en expresiones como «desde», «entre», «total», «área» o «cuánto». Indican una integral definida y una respuesta numérica. Expresiones como «halla una función», «solución general» o «primitiva» indican una integral indefinida con $+ C$. Un enunciado que da un valor inicial, como $f(0) = 2$, pide una integral indefinida seguida del cálculo de $C$.

Usa la calculadora de integrales para las integrales indefinidas paso a paso, y la calculadora de integrales definidas para evaluarlas en un intervalo, incluidas las impropias.

Una comparación resuelta con una sola función

Ver los dos tipos de integral aplicados a la misma función hace que el contraste sea concreto. Toma la función que da el ritmo al que entra agua en un depósito, en litros por minuto, y supón que vale $4t + 2$ al cabo de $t$ minutos.

La integral indefinida, $2t^2 + 2t + C$, describe la cantidad de agua del depósito en cualquier momento, pero solo salvo una cantidad inicial desconocida. Si el depósito tenía 10 litros al principio, entonces $C = 10$ y el volumen al cabo de $t$ minutos es $2t^2 + 2t + 10$ litros. Es una función que puedes evaluar en cualquier instante.

La integral definida desde $t = 0$ hasta $t = 5$ responde a otra pregunta: ¿cuánta agua ha entrado durante esos cinco minutos? Vale $(50 + 10) - 0 = 60$ litros, independientemente de cuánta agua hubiera al principio. La primera respuesta es una fórmula para un estado; la segunda, un único número para un cambio. La mayoría de los problemas aplicados encajan claramente en uno de esos dos tipos en cuanto te preguntas si el enunciado pide una cantidad en un instante o un total en un intervalo.

Errores frecuentes con cada tipo

En las integrales indefinidas, el error más habitual es olvidar la constante. Puede parecer inofensivo, pero en un problema de valor inicial elimina justamente lo que te piden hallar, y en las ecuaciones diferenciales oculta toda una familia de soluciones. Otro error es olvidar reescribir el resultado en función de la variable original después de un cambio de variable.

En las integrales definidas, los errores típicos son restar en el orden equivocado, confundir los límites antiguos y los nuevos tras un cambio de variable e interpretar un área con signo como un área total. Otra trampa es integrar de un tirón a través de un punto donde la función no está definida, como $\frac{1}{x^2}$ de $-1$ a 1. Aplicar la fórmula a ciegas da $-2$, lo cual es imposible para una función positiva; en realidad la integral diverge, porque la función se dispara en 0. Comprueba siempre que el integrando es continuo en todo el intervalo antes de usar el teorema fundamental.

Cómo encajan las dos ideas

Ayuda pensar en la integral indefinida como la herramienta y en la definida como el trabajo. Hallar una primitiva es el paso difícil y creativo; una vez que la tienes, cualquier integral definida de esa función en cualquier intervalo se obtiene con una resta. Por eso los libros de texto dedican tanto tiempo a las técnicas de integración indefinida, y por eso una sola primitiva bien hallada puede responder de una vez a toda una serie de preguntas sobre áreas, distancias y acumulación.

Preguntas frecuentes