Criterios de convergencia de series, con una estrategia para elegir

Series, sumas parciales y convergencia

Una serie infinita es una suma de infinitos términos, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, que se escribe $\sum a_n$. No se pueden sumar directamente infinitos números, así que se suman los $N$ primeros para obtener la suma parcial $S_N$ y se estudia qué ocurre al crecer $N$. Si las sumas parciales se acercan a un límite finito $S$, la serie converge y su suma es $S$. En caso contrario, diverge.

Sumar infinitos números positivos puede dar un total finito. La serie $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ tiene sumas parciales $0.5$, $0.75$, $0.875$, etcétera, cada una a medio camino de 1 respecto de la anterior, así que la suma es exactamente 1. Imagina que caminas hacia una pared y cada paso cubre la mitad de la distancia que falta: das infinitos pasos, pero nunca recorres más que la distancia inicial. Todo el tema se apoya en los límites, aplicados a la sucesión de sumas parciales.

Series geométricas

Una serie geométrica multiplica cada vez por la misma razón $r$. Es uno de los pocos tipos de serie cuya suma se puede escribir de forma exacta:

Si $|r| \ge 1$, los términos no tienden a cero y la serie diverge. Por ejemplo, $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ tiene $a = 3$ y $r = \frac{1}{3}$, así que su suma es $\frac{3}{2/3} = 4.5$. Los decimales periódicos son series geométricas disfrazadas: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$.

El criterio del término general

Si los términos $a_n$ no tienden a 0, la serie diverge. Esta debería ser siempre tu primera comprobación, porque lleva segundos. Por ejemplo, $\sum\frac{n}{n + 1}$ diverge, ya que sus términos tienden a 1, de modo que se suma casi 1 indefinidamente.

El recíproco es falso, y este es el malentendido más frecuente sobre las series. Que los términos tiendan a cero no garantiza la convergencia. La serie armónica $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ tiene términos que tienden a 0 y, sin embargo, diverge. Agrupa sus términos: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, los cuatro términos siguientes superan $\frac{1}{2}$, los ocho siguientes también superan $\frac{1}{2}$, y así sucesivamente. Sumar infinitas mitades da un total no acotado. Eso sí, el crecimiento es muy lento: el primer millón de términos suma solo unos 14.4.

Series p y criterio de la integral

Una serie p tiene la forma $\sum\frac{1}{n^p}$. Su comportamiento depende solo de $p$:

Así, $\sum\frac{1}{n^2}$ converge, y su suma es la célebre $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$, mientras que $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. La demostración usa el criterio de la integral: si $f$ es positiva, continua y decreciente con $f(n) = a_n$, entonces $\sum a_n$ y $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ convergen las dos o divergen las dos. Como $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ es finita e $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ es infinita, se deducen los dos casos clave. Esas integrales impropias se calculan en integral definida e indefinida.

Criterios de comparación

Los criterios de comparación deciden sobre una serie relacionándola con otra que ya conoces, normalmente una serie geométrica o una serie p. Para series de términos positivos:

• Comparación directa: si $0 \le a_n \le b_n$ y $\sum b_n$ converge, también converge $\sum a_n$. Si $a_n \ge b_n \ge 0$ y $\sum b_n$ diverge, también diverge $\sum a_n$.
• Comparación por paso al límite: si $\lim\frac{a_n}{b_n}$ es un número positivo y finito, las dos series tienen el mismo carácter.

Para elegir la serie de comparación, quédate solo con la mayor potencia de $n$ del numerador y del denominador. Lo que queda te indica con qué serie p o geométrica comparar.

Criterios del cociente y de la raíz

El criterio del cociente, o de D'Alembert, compara cada término con el anterior. Sea $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Si $L < 1$ la serie converge absolutamente, si $L > 1$ diverge, y si $L = 1$ el criterio no decide. Es la elección natural para series con factoriales o potencias como $2^n$.

El criterio de la raíz, o de Cauchy, usa $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ con las mismas conclusiones, y se adapta a términos elevados a la potencia $n$. Para $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$, la raíz $n$-ésima es $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$, así que la serie converge.

Series alternadas

Una serie alternada cambia de signo en cada término. El criterio de Leibniz dice que, si los valores absolutos de los términos decrecen y tienden a 0, la serie converge. Por tanto, la serie armónica alternada $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ converge, y su suma es $\ln 2 \approx 0.6931$.

Además, hay una ventaja: el error al detenerse en cualquier término no supera el primer término omitido. Así, si se detiene la serie armónica alternada tras 99 términos, se obtiene $\ln 2$ con un error menor que $\frac{1}{100}$.

Una serie converge absolutamente si $\sum|a_n|$ converge, y condicionalmente si converge solo gracias a la compensación de signos. La serie armónica alternada es condicionalmente convergente, ya que sin los signos es la serie armónica, que diverge. La convergencia absoluta es la propiedad más fuerte: reordenar los términos de una serie absolutamente convergente nunca cambia su suma, mientras que una serie condicionalmente convergente puede reordenarse para que sume el número que se quiera.

Una estrategia para elegir el criterio

1. ¿Tienden a 0 los términos? Si no, la serie diverge.
2. ¿Es geométrica o una serie p? Aplica la regla conocida.
3. ¿Contiene factoriales o potencias de exponente $n$ como $3^n$? Usa el criterio del cociente.
4. ¿Está todo el término elevado a la potencia $n$? Usa el criterio de la raíz.
5. ¿Es una función racional de $n$ o algo parecido? Usa la comparación por paso al límite con una serie p.
6. ¿Alternan los signos? Usa el criterio de Leibniz y comprueba después la convergencia absoluta.
7. ¿Es el término una función fácil de integrar? Plantéate el criterio de la integral.

La calculadora de convergencia de series aplica estos criterios, indica cuál de ellos resuelve la cuestión y estima la suma. Las series de potencias, cuyos términos contienen $x$, se tratan igual: el criterio del cociente da un radio de convergencia y los extremos se estudian por separado, que es como se hallan los intervalos de nuestra guía de series de Taylor.

Series telescópicas y ejercicios

Una serie telescópica es aquella cuyas sumas parciales se simplifican porque los términos vecinos se cancelan. Escribir $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ muestra que la suma parcial $S_N$ es igual a $1 - \frac{1}{N + 1}$, que tiende a 1. Detectar un patrón telescópico, a menudo con fracciones simples, da la suma exacta en lugar de una simple respuesta de sí o no.

Pon a prueba lo aprendido con estas series antes de mirar las soluciones: $\sum\frac{5}{4^n}$ es geométrica de razón un cuarto y converge; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ diverge por el criterio del término general, porque sus términos tienden a 1; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ converge por ser una serie p con $p > 1$; $\sum\frac{3^n}{n!}$ converge por el criterio del cociente; y $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge condicionalmente, ya que se cumple el criterio de Leibniz pero la serie de los valores absolutos es una serie p divergente.

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