Límites en cálculo: guía práctica

La idea de límite

Considera $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. En $x = 3$ la fórmula da $\frac{0}{0}$, así que $f(3)$ no está definida. Sin embargo, si evalúas $f$ en 2.9, 2.99, 3.01 y 3.1, obtienes 5.9, 5.99, 6.01 y 6.1. Los resultados se van acercando a 6. Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 3 es 6, y escribimos:

El valor de la función en el propio punto no influye en el límite. Solo importa lo que ocurre alrededor. Gráficamente, la gráfica de $f$ es la recta $y = x + 3$ con un hueco en $(3, 6)$, y el límite es la altura de ese hueco.

De manera informal, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que $f(x)$ puede acercarse tanto como se quiera a $L$ tomando $x$ suficientemente cerca de $a$, pero distinto de él. La versión rigurosa de esa frase, la definición épsilon-delta, la convierte en un enunciado que se puede demostrar.

Método 1: sustitución directa

Los polinomios, las funciones racionales cuyo denominador no se anula, las raíces, las exponenciales, los logaritmos y las funciones trigonométricas son continuos en su dominio. En las funciones continuas, el límite es simplemente el valor de la función, así que basta con sustituir.

Por ejemplo, $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$, y $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Prueba siempre primero la sustitución. Si da un número real, has terminado. Si da un número distinto de cero entre cero, el límite es infinito o no existe. Solo $\frac{0}{0}$ y otras indeterminaciones parecidas requieren más trabajo.

Método 2: factorizar y simplificar

Si al sustituir en una función racional se obtiene $\frac{0}{0}$, el numerador y el denominador tienen el factor común $(x - a)$. Factoriza ambos, simplifica y vuelve a sustituir.

Se puede simplificar porque el límite nunca utiliza el valor en el propio $x = a$. La guía de factorización explica las técnicas que necesitas aquí.

Método 3: multiplicar por el conjugado

Cuando la indeterminación $\frac{0}{0}$ se debe a una raíz cuadrada, multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada, que elimina la raíz gracias a la diferencia de cuadrados.

Límites laterales y cuándo un límite no existe

Un límite lateral solo tiene en cuenta valores que llegan desde un lado: $x \to a^-$ por la izquierda y $x \to a^+$ por la derecha. El límite existe solo cuando los dos límites laterales existen y coinciden.

Para $f(x) = \frac{|x|}{x}$, cualquier valor positivo da 1 y cualquier valor negativo da $-1$. Por tanto, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. No coinciden, así que $\lim_{x \to 0} f(x)$ no existe. Las funciones definidas a trozos son la causa más habitual de este comportamiento, así que comprueba siempre los dos lados en el punto donde cambia la definición.

Un límite también puede no existir porque la función oscila. Cuando $x \to 0$, $\sin\frac{1}{x}$ oscila entre $-1$ y 1 infinitas veces y no se estabiliza en ningún valor.

Límites infinitos y límites en el infinito

Si una función crece sin cota cerca de $a$, escribimos que el límite es $\infty$, como en $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. En sentido estricto el límite no existe como número, pero la notación indica cómo falla, y señala una asíntota vertical en $x = a$.

Los límites cuando $x \to \infty$ describen el comportamiento a largo plazo y las asíntotas horizontales. En las funciones racionales, divide cada término entre la mayor potencia de $x$ del denominador:

Si el denominador tiene mayor grado, el límite es 0; por ejemplo, $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Si el numerador tiene mayor grado, la función crece sin cota. Un famoso límite en el infinito define una constante: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Límites trigonométricos notables y el teorema del sándwich

Dos límites sostienen todas las derivadas trigonométricas:

En ambos la sustitución da $\frac{0}{0}$, y el álgebra por sí sola no elimina la indeterminación. Numéricamente, $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ y $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$, lo que sugiere el resultado, y un argumento geométrico con el teorema del sándwich lo demuestra. El ángulo tiene que estar en radianes.

El teorema del sándwich, o de la función intermedia, dice que si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ cerca de $a$ y tanto $g$ como $h$ tienden a $L$, entonces $f$ también tiende a $L$. Por ejemplo, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$, y las dos cotas tienden a 0, así que $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$ aunque $\sin\frac{1}{x}$ por sí sola no tenga límite.

La regla de L'Hôpital

Cuando un límite tiene la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones son derivables cerca del punto, puedes sustituir el numerador y el denominador por sus derivadas: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, siempre que el nuevo límite exista.

Deriva el numerador y el denominador por separado. La regla de L'Hôpital no es la regla del cociente, y solo se aplica a indeterminaciones.

Límites, continuidad y derivadas

Una función es continua en $a$ cuando $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: el límite existe, la función está definida en ese punto y ambos valores coinciden. La propia derivada es un límite, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, que siempre empieza siendo $\frac{0}{0}$; consulta qué es una derivada. Las integrales y la convergencia de series también se definen mediante límites.

La calculadora de límites calcula límites laterales y bilaterales, incluidos los límites en el infinito, e indica qué método ha utilizado. Para comprobar un límite visualmente, la calculadora gráfica te permite ampliar la zona alrededor del punto.

Propiedades de los límites

Los límites se comportan bien con las operaciones. Si $\lim f(x)$ y $\lim g(x)$ existen, el límite de la suma es la suma de los límites, el límite del producto es el producto de los límites y el límite del cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero. Los múltiplos por una constante y las potencias funcionan igual. Estas propiedades explican por qué la sustitución directa funciona con las funciones continuas: un polinomio se construye con sumas y productos de $x$ y constantes, así que su límite se construye del mismo modo.

Las propiedades exigen que existan los dos límites por separado. El límite de $x\sin\frac{1}{x}$ en 0 es 0, pero no se puede obtener multiplicando límites, porque $\sin\frac{1}{x}$ no tiene límite en ese punto. En casos así hay que recurrir al teorema del sándwich.

Una estrategia que sirve para la mayoría de los problemas

1. Sustituye. Si sale un número real, esa es la respuesta.
2. Número distinto de cero entre cero: estudia el signo por cada lado para decidir entre $\infty$, $-\infty$ o que no hay límite.
3. Cero entre cero con polinomios: factoriza y simplifica.
4. Cero entre cero con raíces cuadradas: multiplica por el conjugado.
5. Cero entre cero con funciones trigonométricas: reescribe usando $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia del denominador.
7. Si el álgebra se atasca, aplica la regla de L'Hôpital o comprueba numéricamente con valores a ambos lados.

Practica con soluciones: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$, factorizando la diferencia de cubos. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$, escribiéndolo como $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$, dividiendo todo entre $x$.

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