¿Qué es una derivada? Una introducción clara

De la tasa de variación media a la instantánea

Si un coche recorre 120 km en 2 horas, su velocidad media es de 60 km por hora. Ese número no dice nada de la velocidad que marcaba el velocímetro en un momento concreto, que pudo ser 0 en un semáforo o 100 en la autovía. La derivada es la versión matemática de la lectura del velocímetro: la tasa de variación en un instante y no a lo largo de un intervalo.

Para cualquier función $f$, la tasa de variación media entre $x$ y $x + h$ es la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos de la gráfica, llamada recta secante:

Para obtener la tasa instantánea, se reduce el intervalo. Cuando $h$ tiende a 0, la recta secante gira hasta convertirse en la recta tangente, la que apenas roza la curva en el punto. El límite de las pendientes de las secantes es la derivada.

La definición formal

La derivada de $f$ en $x$ es

siempre que ese límite exista. En tal caso se dice que $f$ es derivable en $x$. No se puede hacer sin más $h = 0$ en la fracción, porque se obtiene $\frac{0}{0}$. En lugar de eso, se simplifica algebraicamente hasta que la $h$ del denominador desaparece y después se calcula el límite. Si los límites son nuevos para ti, nuestra guía de límites explica antes la idea.

Notación

Se usan varias notaciones, y todas significan lo mismo. La notación prima de Lagrange escribe $f'(x)$. La notación de Leibniz escribe $\frac{dy}{dx}$ o $\frac{d}{dx}f(x)$, lo que recuerda que una derivada es un cociente de cambios pequeños y hace que la regla de la cadena parezca natural. En física se suele escribir un punto, $\dot{x}$, para la derivada respecto del tiempo.

Derivar dos veces da la segunda derivada, que se escribe $f''(x)$ o $\frac{d^2y}{dx^2}$. Si $s(t)$ es la posición, entonces $s'(t)$ es la velocidad y $s''(t)$ es la aceleración.

Qué dice la derivada sobre una gráfica

• Donde $f'(x) > 0$, la función es creciente.
• Donde $f'(x) < 0$, es decreciente.
• Donde $f'(x) = 0$, la tangente es horizontal; los máximos y mínimos relativos se dan en esos puntos (o donde $f'$ no existe).
• Donde $f''(x) > 0$, la gráfica es cóncava hacia arriba, curvada como una taza; donde $f''(x) < 0$, es cóncava hacia abajo.

Las reglas que hacen que esto sea rápido, como la regla de la potencia que se ha usado aquí, se explican en las reglas de derivación explicadas.

Un ejemplo físico: una piedra que cae

Una piedra que se suelta desde el reposo recorre una distancia $s(t) = 4.9t^2$ metros al cabo de $t$ segundos, si se desprecia la resistencia del aire. Entre $t = 1$ y $t = 3$ pasa de 4.9 m a 44.1 m, así que su velocidad media es $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s.

Su velocidad instantánea es la derivada, $s'(t) = 9.8t$ m/s. En $t = 2$ vale 19.6 m/s, exactamente la media en el intervalo de 1 a 3 segundos; en una función cuadrática, la tasa media en un intervalo siempre coincide con la tasa instantánea en su punto medio. La segunda derivada, $s''(t) = 9.8$ m/s², es la aceleración constante de la gravedad.

Las unidades son una buena comprobación de cualquier derivada. La derivada de una magnitud medida en metros respecto del tiempo en segundos se mide en metros por segundo. En economía, la derivada del coste total en euros respecto de la cantidad producida es el coste marginal, en euros por unidad.

Cuándo no existe la derivada

Una función no es derivable en un punto si el límite del cociente incremental no existe en él. En una gráfica, esto se manifiesta de cuatro formas:

• Un punto anguloso, como $|x|$ en 0, donde la pendiente es $-1$ por la izquierda y $+1$ por la derecha.
• Un punto de retroceso o cúspide, como $x^{2/3}$ en 0, donde las pendientes se hacen infinitamente pronunciadas en sentidos opuestos.
• Una tangente vertical, como $\sqrt[3]{x}$ en 0, donde la pendiente es infinita.
• Una discontinuidad, como un salto o un hueco.

La derivabilidad implica la continuidad: si $f'(a)$ existe, $f$ es continua en $a$. El recíproco es falso, como muestra $|x|$, que es continua en todas partes pero tiene un punto anguloso en 0.

Estimar una derivada numéricamente

Cuando no se dispone de una fórmula, por ejemplo con datos medidos, la derivada puede estimarse con un paso pequeño. El cociente de diferencias centrado suele ser más preciso que la versión de un solo lado:

Para $f(x) = \sin x$ en $x = 0$ con $h = 0.01$, se obtiene $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$, muy cerca del valor exacto $\cos 0 = 1$. Las calculadoras gráficas y las hojas de cálculo usan este tipo de estimación. La calculadora de derivadas, en cambio, deriva de forma simbólica y muestra cada regla que aplica, y la calculadora de límites evalúa directamente la definición por límites.

Dónde se usan las derivadas

Cualquier pregunta del tipo «a qué velocidad» o «qué valor es el mejor» es una pregunta de derivadas. Los ingenieros hallan las dimensiones de un envase que gasta el mínimo material igualando a cero la derivada de la superficie. Los economistas hallan el nivel de producción que maximiza el beneficio, que es aquel en el que el ingreso marginal iguala al coste marginal. Los médicos modelizan cómo varía con el tiempo la concentración de un fármaco en la sangre, y la derivada les indica cuándo alcanza su máximo.

El aprendizaje automático se basa en derivadas a una escala enorme. Entrenar un modelo consiste en ajustar millones de parámetros para reducir una medida del error, y la dirección en la que se mueve cada parámetro la da una derivada, en un método llamado descenso del gradiente. La física está escrita casi por completo con derivadas: la segunda ley de Newton dice que la fuerza es igual a la masa por la segunda derivada de la posición.

Un poco de historia

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo de forma independiente en la segunda mitad del siglo diecisiete. Newton pensaba en magnitudes que fluyen en el tiempo, mientras que Leibniz trabajaba con diferencias infinitamente pequeñas, y su notación $\frac{dy}{dx}$ es la que usan hoy la mayoría de los libros de texto. Sus métodos funcionaban de maravilla, pero se apoyaban en ideas vagas sobre números infinitamente pequeños. La definición rigurosa por límites que se usa en este artículo se desarrolló en el siglo diecinueve, sobre todo gracias a Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass, y dio por fin a la materia una base rigurosa.

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