Calculadora de límites

Q: ¿Qué hace la calculadora de límites cuando la sustitución da 0/0?

Reconoce la indeterminación y aplica la regla de L'Hôpital: deriva el numerador y el denominador por separado y vuelve a sustituir, y repite hasta resolver la indeterminación o hasta que el método deja de ayudar.

Q: ¿Cómo calculo un límite lateral?

Elige «Por la derecha» para x → a⁺ o «Por la izquierda» para x → a⁻. Los límites laterales importan en las asíntotas verticales, en los extremos de un dominio, como √x en 0, y en funciones definidas a trozos o con valor absoluto.

Q: ¿Cómo introduzco un límite en el infinito?

Escribe inf, o -inf para menos infinito, en el campo «x tiende a». La calculadora compara los términos dominantes, aplica la regla de L'Hôpital y reescribe en forma exponencial según haga falta.

Q: ¿Qué significa aquí «el límite no existe»?

O bien los límites por la izquierda y por la derecha son distintos, y la calculadora lo indica con ambos valores, o bien los valores oscilan y nunca se estabilizan en un número ni en ±∞.

Q: ¿Un límite infinito es lo mismo que no tener límite?

En sentido estricto, un límite infinito no es un número real, así que el límite no existe en los números reales. Decir que es +∞ es más preciso, porque describe cómo se comportan los valores, y por eso la calculadora lo indica así.

Q: ¿Por qué la calculadora comprueba los límites numéricamente?

La manipulación simbólica puede fallar en casos sutiles. Evaluar la función en una sucesión de puntos que se acercan al objetivo confirma el resultado y, si los números contradicen el resultado simbólico, no se muestra ninguna respuesta.

Q: ¿Puede resolver indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito?

Sí. Toma logaritmos para convertir la potencia en un producto, resuelve la indeterminación 0·∞ resultante con la regla de L'Hôpital y toma la exponencial; así es como se muestra que (1 + 1/x)^x → e.

Q: ¿El límite coincide con el valor de la función en ese punto?

Solo cuando la función es continua en él. Para (x² − 4)/(x − 2), el límite en 2 es 4 aunque la expresión no está definida en x = 2.

Q: ¿Puede calcular límites de dos variables?

No. La calculadora trabaja con una sola variable, normalmente x. Los límites de varias variables dependen del camino de aproximación y requieren otras técnicas.

Sobre la calculadora de límites

Los límites son la base sobre la que se construye el resto del cálculo. Las derivadas son límites de cocientes incrementales, las integrales son límites de sumas y la convergencia de una serie es un límite de sumas parciales. Sin embargo, es en los límites donde los estudiantes se encuentran por primera vez con expresiones como $\frac00$ , que parecen no tener sentido, y es fácil perder de vista qué método corresponde.

Esta calculadora resuelve un límite como lo haría un estudiante cuidadoso. Primero prueba la sustitución directa. Si aparece una indeterminación, la identifica — $\frac00$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ o $\infty^0$ — y aplica el método adecuado: la regla de L'Hôpital, reescribir un producto como cociente, multiplicar por el conjugado o tomar logaritmos. Cada paso se muestra con las derivadas calculadas.

Después, cada resultado simbólico se compara con los valores reales de la función en puntos cada vez más próximos al objetivo. Si no coinciden, no se muestra ningún resultado, lo que te protege de los errores que los trucos simbólicos pueden producir de vez en cuando con total aparente seguridad. La calculadora también resuelve límites laterales y te avisa cuando un límite bilateral no existe porque los dos lados no coinciden.

¿Qué es un límite?

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es el valor al que $f(x)$ se acerca tanto como se quiera cuando $x$ está cerca de $a$ , pero sin llegar a ser igual. Describe la tendencia de la función cerca de un punto, no su valor en ese punto. La función ni siquiera tiene que estar definida en $a$ : $\frac{\sin x}{x}$ no está definida en 0 y, sin embargo, su límite allí es exactamente 1.

Formalmente, $\lim_{x\to a} f(x) = L$ significa que para toda tolerancia $\varepsilon > 0$ existe una distancia $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \varepsilon$ siempre que $0 < |x - a| < \delta$ . Dicho de forma sencilla: puedes acercar $f(x)$ a $L$ tanto como quieras si mantienes $x$ lo bastante cerca de $a$ .

Un límite también puede ser infinito, y se escribe $\lim f(x) = \infty$ , cuando los valores crecen sin cota; además, $x$ puede tender a $\pm\infty$ , lo que describe el comportamiento de la función a largo plazo y sus asíntotas horizontales. Un límite bilateral solo existe cuando los límites laterales por la izquierda y por la derecha existen y son iguales.

Cómo usar la calculadora de límites

Escribe la función de x, por ejemplo sin(x)/x, (x^2-4)/(x-2) o (1+1/x)^x.
Introduce el valor al que tiende x: un número, una fracción, pi, inf o -inf.
Elige bilateral, por la derecha (x → a⁺) o por la izquierda (x → a⁻).
Pulsa Calcular el límite para ver el intento de sustitución, la indeterminación y cada paso que la resuelve.
Revisa la última línea, que indica el límite, ±∞ o que el límite no existe y por qué.

Fórmulas

Regla de L'Hôpital

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad\text{para } \tfrac00 \text{ o } \tfrac{\infty}{\infty}

Límite trigonométrico fundamental

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Definición del número e

\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e

Indeterminaciones exponenciales

\lim f^{\,g} = e^{\lim g\,\ln f}

Límite bilateral

\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L

Ejemplo resuelto: sin(x)/x, x → 0

El ejemplo resuelto se genera en directo para $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ . Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac00$ , que es una indeterminación, así que la calculadora aplica la regla de L'Hôpital: la derivada del numerador es $\cos x$ y la del denominador es 1. Al sustituir de nuevo se obtiene $\cos 0 = 1$ , así que el límite es 1.

Una tabla de valores lo confirma. En $x = 0.1$ el cociente vale aproximadamente 0.99833 y en $x = 0.01$ vale aproximadamente 0.9999833, acercándose a 1 por debajo. Este límite concreto es la razón por la que la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ , así que conviene reconocerlo a simple vista.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = 1

Cómo hemos leído tu problema

Calcular el límite de sin(x) / x cuando x → 0.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x}

Solución paso a paso

Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente).
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1}$
Simplificar
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} \cos\left( x\right)$
Sustitución directa
La expresión es continua en x = 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto.
$\lim_{x \to 0} \cos\left( x\right) = \cos\left(0\right) = 1$

Fórmulas utilizadas

Regla de L'Hôpital
$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}\ \text{para } \tfrac{0}{0} \text{ o } \tfrac{\infty}{\infty}$
Límite bilateral
$\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-} f = \lim_{x\to a^+} f = L$

Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L'Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación

Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) = 0.99998333, f(0.001) = 0.99999983, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(-0.01) = 0.99998333, f(-0.001) = 0.99999983, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Explicación detallada

Empezar por la sustitución directa

Si la función es continua en el punto, el límite es simplemente su valor en él, así que lo primero es siempre sustituir. Los polinomios, las exponenciales, el seno y el coseno son continuos en todo su dominio, y las funciones racionales son continuas allí donde el denominador no se anula. Si la sustitución da un número normal, ya has terminado.

La sustitución también puede revelar un límite infinito. Un número distinto de cero dividido entre algo que tiende a cero, como $\frac1x$ cerca de 0, crece sin cota. El signo depende entonces del lado: la calculadora indica $+\infty$ por la derecha y $-\infty$ por la izquierda y, por tanto, que el límite bilateral no existe.

Indeterminaciones y regla de L'Hôpital

Expresiones como $\frac00$ y $\frac{\infty}{\infty}$ se llaman indeterminaciones porque la forma por sí sola no dice nada del resultado. $\frac{x^2}{x}$ , $\frac{x}{x}$ y $\frac{x}{x^2}$ dan todas $\frac00$ en cero y, sin embargo, sus límites son 0, 1 e inexistente. Hay que fijarse en la rapidez con que el numerador y el denominador se acercan a sus límites.

La regla de L'Hôpital hace justo eso comparando ritmos de cambio. Cuando las dos partes tienden a 0, o las dos tienden a infinito, el límite del cociente es igual al límite del cociente de las derivadas, siempre que ese nuevo límite exista. Para $\frac{x^2-4}{x-2}$ en $x = 2$ las derivadas son $2x$ y 1, así que el límite es 4. Factorizar y simplificar da el mismo resultado, $x + 2 \to 4$ , lo que sirve de comprobación.

A veces hay que aplicar la regla más de una vez. $\frac{1-\cos x}{x^2}$ sigue siendo $\frac00$ tras una primera aplicación; una segunda da $\frac{\cos x}{2}$ y el límite $\frac12$ . La calculadora repite la regla automáticamente y se detiene si las expresiones empiezan a crecer en lugar de simplificarse.

Productos, diferencias y potencias

La regla de L'Hôpital solo se aplica a cocientes, así que las demás indeterminaciones hay que reescribirlas antes. Un producto $0 \cdot \infty$ se convierte en cociente pasando uno de los factores al denominador como su inverso. Una diferencia $\infty - \infty$ con una raíz cuadrada, como $\sqrt{x^2 + x} - x$ en el infinito, se multiplica por su conjugado; esa en concreto se simplifica hasta un límite de $\frac12$ .

Las indeterminaciones exponenciales $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ se resuelven con logaritmos. Para calcular $\lim (1 + \frac1x)^x$ , toma el logaritmo neperiano y obtendrás $x \ln(1 + \frac1x)$ , una indeterminación $\infty\cdot 0$ ; reescríbela como cociente, aplica la regla de L'Hôpital para ver que el logaritmo tiende a 1 y toma la exponencial. El resultado es $e^1 = e \approx 2.718281828$ . El mismo método muestra que $x^x \to 1$ cuando $x \to 0^+$ .

Límites en el infinito y asíntotas horizontales

Cuando $x \to \pm\infty$ , las funciones racionales dependen de sus potencias de mayor grado. Si el numerador y el denominador tienen el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales, así que $\frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} \to \frac35$ . Si el denominador tiene mayor grado, el límite es 0; si lo tiene el numerador, la función crece sin cota.

Estos límites son exactamente las asíntotas horizontales de una gráfica. Las exponenciales acaban dominando a cualquier potencia y los logaritmos crecen más despacio que cualquier potencia positiva, comparaciones que la regla de L'Hôpital permite precisar.

Cuando un límite no existe

Un límite bilateral no existe cuando los límites por la izquierda y por la derecha son distintos, como en $\frac{|x|}{x}$ en 0, donde la calculadora indica un límite por la derecha de 1 y un límite por la izquierda de $-1$ . Tampoco existe cuando la función oscila sin estabilizarse, como le ocurre a $\sin\frac1x$ cerca de 0. En ese caso, la calculadora explica que los valores no se estabilizan en lugar de inventarse un número.

Un límite infinito es, en rigor, otra forma de no existir como número real, pero aporta más información, así que se indica como $\infty$ o $-\infty$ junto con el lado al que corresponde.

Errores frecuentes

Escribir $\frac00 = 0$ o $\frac00 = 1$ ; es una indeterminación y requiere más trabajo.
Aplicar la regla de L'Hôpital a un límite que no es $\frac00$ ni $\frac{\infty}{\infty}$ , como $\frac{x+1}{x}$ en 0.
Derivar la fracción entera con la regla del cociente en lugar de derivar el numerador y el denominador por separado.
Suponer que $1^\infty = 1$ ; el límite de $(1 + \frac1x)^x$ es $e$ , no 1.
Dar un límite bilateral cuando solo se ha comprobado un lado.
Usar el modo en grados de una calculadora para límites trigonométricos; $\frac{\sin x}{x} \to 1$ solo en radianes.

Consejos

Sustituye siempre primero; muchos límites no necesitan nada más.
Prueba a factorizar y simplificar antes de recurrir a la regla de L'Hôpital; suele ser más rápido.
En los límites en el infinito, divide cada término entre la mayor potencia de x del denominador.
Evalúa la función en algunos puntos cercanos al objetivo para estimar el resultado antes de resolver.
Reescribe las potencias con la variable en el exponente como $e^{g \ln f}$ .
Esboza o representa la función para ver si los dos lados coinciden.

Preguntas frecuentes

¿Qué hace la calculadora de límites cuando la sustitución da 0/0?