Calculadora de derivación implícita

Sobre la calculadora de derivación implícita

Muchas curvas no se pueden escribir de forma cómoda como $y = f(x)$ . Una circunferencia como $x^2 + y^2 = 25$ no supera la prueba de la recta vertical, y una curva como el folium de Descartes, $x^3 + y^3 = 6xy$ , no tiene ninguna fórmula práctica para $y$ . Aun así, sus pendientes existen en casi todos los puntos, y la derivación implícita es la técnica que las calcula sin despejar antes $y$ .

Esta calculadora aplica el método tal y como se enseña. Trata $y$ como una función desconocida de $x$ , deriva los dos miembros de tu ecuación respecto de $x$ y, por la regla de la cadena, añade un factor $y'$ a cada término que contiene $y$ . Después agrupa los términos con $y'$ en un miembro, saca $y'$ factor común y divide, con lo que obtiene una fórmula de $\frac{dy}{dx}$ en función de $x$ y de $y$ .

Si indicas un punto de la curva, la calculadora lo sustituye para dar la pendiente numérica y escribe la ecuación de la recta tangente en él. La fórmula final se verifica de forma independiente comparándola con $-\frac{F_x}{F_y}$ , el resultado que predicen las derivadas parciales, para que puedas fiarte de la respuesta antes de copiarla en tu trabajo.

¿Qué es la derivación implícita?

Una ecuación como $x^2 + y^2 = 25$ define $y$ de forma implícita: describe una relación entre $x$ e $y$ en lugar de dar $y$ directamente. Cerca de la mayoría de los puntos de la curva, $y$ sigue comportándose como una función de $x$ , aunque no puedas escribir esa función. La derivación implícita calcula su derivada a partir de la propia relación.

La clave es la regla de la cadena. Si $y$ depende de $x$ , la derivada de $y^2$ respecto de $x$ no es $2y$ , sino $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . Lo mismo ocurre con $\sin y$ , $e^y$ o cualquier otra expresión en $y$ : se deriva como siempre y después se multiplica por $y'$ . Los términos que solo contienen $x$ se derivan de forma normal, y las constantes desaparecen.

El resultado suele contener tanto $x$ como $y$ , como en $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Es lo esperable y es correcto. Un mismo valor de $x$ puede corresponder a varios puntos de la curva, con una pendiente distinta en cada uno, así que la fórmula necesita la coordenada $y$ para saber a qué punto te refieres.

Cómo usar la calculadora de derivación implícita

Escribe una ecuación con x e y y un único signo igual, por ejemplo x^2 + y^2 = 25 o x^3 + y^3 = 6 x y.
Usa un espacio o un * para multiplicar letras: x y o x*y para el producto de x por y.
Si quieres, introduce un punto de la curva, como x = 3, y = 4, para obtener la pendiente y la recta tangente en él.
Pulsa Calcular dy/dx para ver cada miembro derivado, los términos con y′ agrupados y la fórmula final.
Si has dado un punto, lee la pendiente y la ecuación de la recta tangente en los últimos pasos.

Fórmulas

Regla de la cadena para un término con y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Regla del producto con y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Atajo con derivadas parciales

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Recta tangente en (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Ejemplo resuelto: x² + y² = 25 en (3, 4)

El ejemplo resuelto se calcula en directo para la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ en el punto $(3, 4)$ . Al derivar los dos miembros se obtiene $2x + 2y\,y' = 0$ ; el término $2y\,y'$ procede de la regla de la cadena. Al pasar $2x$ al otro miembro y dividir entre $2y$ se obtiene $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

En $(3, 4)$ la pendiente es $-\frac34 = -0.75$ , así que la recta tangente es $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . La geometría lo confirma: el radio que llega a $(3, 4)$ tiene pendiente $\frac43$ , y la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio, así que su pendiente debe ser la inversa cambiada de signo, $-\frac34$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{pendiente en el punto} = -0.75

Cómo hemos leído tu problema

Calcular dy/dx para una curva definida implícitamente, tratando y como función derivable de x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Solución paso a paso

Tratar y como función de x y derivar los dos miembros respecto de x
Cada término que contiene y requiere la regla de la cadena: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Resultado de derivar cada miembro
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Agrupar los términos con y′ en un miembro
Pasa todos los términos con y′ a la izquierda y el resto a la derecha, y saca y′ factor común.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Dividir para despejar y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Sustituir x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Recta tangente en el punto
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Fórmulas utilizadas

Regla de la cadena para y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Fórmula de la función implícita
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Derivar los dos miembros mantiene la igualdad; como y depende de x, cada término con y produce un factor y′, que después se despeja algebraicamente. El resultado suele contener tanto x como y.

Comprobación

Coincide con −F_x / F_y de un derivador simbólico independiente en varios puntos de prueba ✓
(3, 4) pertenece a la curva ✓

Explicación detallada

El método en cuatro pasos

Primero, deriva todos los términos de los dos miembros respecto de $x$ . Segundo, siempre que un término contenga $y$ , multiplica su derivada por $y'$ ; cuando $x$ e $y$ aparezcan multiplicadas, usa la regla del producto. Tercero, pasa todos los términos con $y'$ a un miembro y el resto al otro. Cuarto, saca $y'$ factor común y divide entre lo que queda.

Aplicados a $x^3 + y^3 = 6xy$ , los dos primeros pasos dan $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , porque el segundo miembro es un producto. Al agrupar términos queda $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , así que $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . La calculadora muestra exactamente esta secuencia.

Por qué la regla de la cadena produce y′

Piensa en $y$ como $y(x)$ , una función que no ves. Entonces $y^3$ es en realidad una función compuesta, el cubo de $y(x)$ , y la regla de la cadena dice que su derivada es $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . La derivación implícita no es más que la regla de la cadena de siempre aplicada a una función interior cuya fórmula se desconoce.

Por eso también $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ y $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Para la ecuación $\sin y = x$ , al derivar se obtiene $\cos y\,y' = 1$ , así que $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Como esta curva es $y = \arcsin x$ en su rama principal, el resultado da una forma rápida de deducir la derivada del arco seno en cuanto se escribe $\cos y$ como $\sqrt{1 - x^2}$ .

Pendientes, rectas tangentes y puntos especiales

Al sustituir un punto en la fórmula se obtiene la pendiente en él, pero solo si el punto pertenece realmente a la curva; conviene comprobar primero que cumple la ecuación original. Con la pendiente $m$ y el punto $(x_0, y_0)$ , la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

La fórmula también localiza elementos especiales. Las tangentes horizontales aparecen donde el numerador de $\frac{dy}{dx}$ se anula y el denominador no. Las tangentes verticales aparecen donde se anula el denominador y el numerador no; en la circunferencia, eso ocurre en $(\pm 5, 0)$ , donde $y = 0$ . Si se anulan a la vez el numerador y el denominador, como en el origen del folium, la curva puede cortarse a sí misma y la pendiente debe estudiarse aparte.

Un atajo con derivadas parciales

Al pasar todo a un miembro, la curva queda escrita como $F(x, y) = 0$ . El cálculo de varias variables da entonces la fórmula $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , donde $F_x$ y $F_y$ son derivadas parciales. Para $x^2 + xy + y^2 = 7$ , $F_x = 2x + y$ y $F_y = x + 2y$ , así que $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , que vale $-0.8$ en $(1, 2)$ .

La calculadora usa esta fórmula como comprobación independiente del resultado paso a paso. Tú puedes usarla igual: cuando tu cálculo a mano y el atajo coinciden, puedes confiar en el resultado.

Dónde se usa después: tasas relacionadas

La derivación implícita es el motor de los problemas de tasas relacionadas. Cuando una escalera resbala por una pared, su pie y su extremo superior cumplen $x^2 + y^2 = L^2$ en todo momento, y las dos coordenadas dependen del tiempo. Derivar respecto de $t$ en lugar de $x$ da $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , que relaciona la velocidad del pie con la del extremo superior.

El esquema es idéntico al de esta página: derivar la relación, aplicar la regla de la cadena a cada magnitud que cambia y despejar la tasa buscada. También es la base de la derivación logarítmica, en la que se toma $\ln$ en los dos miembros de $y = x^x$ y se deriva implícitamente $\ln y = x \ln x$ para obtener $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Errores frecuentes

Escribir la derivada de $y^2$ como $2y$ y olvidar el factor $y'$ .
Olvidar la regla del producto en los términos mixtos, de modo que $\frac{d}{dx}[xy]$ se escribe solo como $y'$ o $xy'$ .
Derivar la constante del segundo miembro como si fuera una variable en lugar de obtener 0.
Dividir entre una expresión que vale cero en el punto que interesa, lo que oculta una tangente vertical.
Sustituir un punto que no cumple la ecuación original.
Despejar $y$ primero cuando no hace falta, lo que a menudo genera raíces cuadradas con ambigüedades de signo.

Consejos

Rodea o resalta cada $y'$ al escribirlo para que no se pierda ninguno al agrupar términos.
Desarrolla los productos antes de derivar si así reduces los términos de la regla del producto.
Usa $-\frac{F_x}{F_y}$ para comprobar rápidamente tu resultado.
Simplifica la fracción final cancelando factores comunes como 2 o 3.
Comprueba que tu punto pertenece a la curva antes de calcular la recta tangente.
Para la segunda derivada, vuelve a derivar $y'$ implícitamente y sustituye la fórmula de la primera derivada.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo debo usar la derivación implícita?

Siempre que y esté ligada a x por una ecuación difícil o imposible de despejar en y, como x³ + y³ = 6xy, o cuando al despejar la curva se dividiría en varias ramas, como ocurre con circunferencias y elipses.

¿Por qué dy/dx contiene y además de x?

Un mismo valor de x puede corresponder a varios puntos de una curva implícita, cada uno con su propia pendiente. La y de la fórmula identifica a qué punto te refieres. En la circunferencia, −x/y da −0.75 en (3, 4) y +0.75 en (3, −4).

¿Cómo introduzco el punto para la pendiente?

Escribe las dos coordenadas en el campo opcional, por ejemplo x = 3, y = 4. La calculadora las sustituye en dy/dx y escribe la recta tangente en forma punto-pendiente.

¿Puede derivar ecuaciones con sin y o e^y?

Sí. Se puede usar cualquier expresión derivable en x e y. Los términos como sin y o e^y reciben el factor y′ por la regla de la cadena, así que sin y = x da dy/dx = 1/cos y.

¿Qué significa que el denominador de dy/dx sea cero?

En ese punto la recta tangente es vertical, siempre que el numerador no se anule también. En x² + y² = 25 ocurre en (5, 0) y en (−5, 0).

¿La derivación implícita es lo mismo que usar derivadas parciales?

Dan el mismo resultado. El método paso a paso usa directamente la regla de la cadena, mientras que la fórmula dy/dx = −F_x/F_y usa derivadas parciales de F(x, y). La calculadora muestra el primero y lo comprueba con la segunda.

¿Puedo calcular d²y/dx² con esta calculadora?

La calculadora devuelve la primera derivada. Para la segunda, deriva de nuevo la fórmula de dy/dx con la regla del cociente, recordando que y sigue dependiendo de x, y sustituye cada y′ que aparezca por la expresión de la primera derivada.

¿Qué letras debe usar la ecuación?

La ecuación debe escribirse en x e y, con y como variable dependiente. No se admiten otras letras, y la calculadora lo indica en lugar de adivinar qué papel tienen.

¿Tengo que despejar y antes de derivar?

No, y normalmente es mejor no hacerlo. Al despejar y en x² + y² = 25 se obtiene ±√(25 − x²), dos funciones distintas con raíces cuadradas incómodas. Derivar la ecuación original trata las dos mitades de la circunferencia a la vez.

Prueba la calculadora de derivación implícita

Escribe una ecuación en x e y y obtén dy/dx con cada paso, más la pendiente y la recta tangente en el punto que elijas.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA