Distancia entre dos puntos — Calculadora con la fórmula de la distancia

Q: ¿Qué es la fórmula de la distancia?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). Da la longitud del segmento que une los dos puntos.

Q: ¿Por qué el resultado es una raíz cuadrada?

Cuando Δ x^2 + Δ y^2 no es un cuadrado perfecto, la distancia exacta es irracional. La calculadora simplifica el radical y da también su valor decimal.

Q: ¿La fórmula de la distancia sirve en tres dimensiones?

Sí, con un tercer término: d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Esta calculadora trabaja con puntos del plano, así que introduce solo las coordenadas x e y.

Sobre la calculadora de distancia entre dos puntos

La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado a coordenadas. Las diferencias horizontal y vertical entre dos puntos son los catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia es su hipotenusa.

Esta calculadora simplifica la raíz cuadrada de forma exacta, así que de $(−2, 1)$ a $(3, −3)$ da $\sqrt{41}$ , y de $(0,0)$ a $(1, 3)$ da $\sqrt{10}$ , no solo un decimal redondeado.

¿Qué es la fórmula de la distancia?

La fórmula de la distancia da la longitud del segmento que une dos puntos del plano cartesiano. Si los puntos son $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , la separación horizontal entre ellos es $x_2 - x_1$ y la vertical es $y_2 - y_1$ . Si dibujas esas dos separaciones, forman los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento que quieres medir.

El teorema de Pitágoras dice entonces que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, y al extraer la raíz cuadrada se obtiene la distancia. El resultado es siempre cero o positivo, no depende de qué punto pongas primero y se mide en las mismas unidades que las coordenadas.

Se usa, por ejemplo, para hallar las longitudes de los lados de un triángulo dibujado en una cuadrícula, el radio de una circunferencia a partir de su centro y uno de sus puntos, o la distancia en línea recta entre dos lugares de un mapa.

Cómo usar la calculadora de distancia entre dos puntos

Introduce el primer punto (x₁, y₁).
Introduce el segundo punto (x₂, y₂).
Pulsa Calcular la distancia para ver las diferencias, sus cuadrados, la suma y la raíz simplificada.

Fórmulas

Fórmula de la distancia

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Teorema de Pitágoras

a^2 + b^2 = c^2

Punto medio

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Ejemplo resuelto: (1, 2) y (4, 6)

El ejemplo resuelto mide de (1, 2) a (4, 6). Las diferencias son $\Delta x = 3$ y $\Delta y = 4$ , sus cuadrados son 9 y 16, y la suma es 25, así que $d = \sqrt{25} = 5$ : el conocido triángulo rectángulo 3-4-5. La calculadora da también el punto medio, (2.5, 4), y comprueba que $d^2$ es igual a $\Delta x^2 + \Delta y^2$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

d = 5

Cómo hemos leído tu problema

Hallar la distancia en línea recta (euclídea) entre dos puntos del plano.

Solución paso a paso

Nombrar los puntos
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Hallar las diferencias horizontal y vertical
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Elevar al cuadrado las diferencias y sumarlas
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Extraer la raíz cuadrada
$d = \sqrt{25} = 5$
Punto medio (media de las coordenadas)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Fórmulas utilizadas

Fórmula de la distancia
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Fórmula del punto medio
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias horizontal y vertical entre los puntos.

Comprobación

d² = 25 coincide con Δx² + Δy² = 25

Explicación detallada

Radicales exactos

La mayoría de los pares de puntos no dan una distancia entera. De (−2, 1) a (3, −3), las diferencias son 5 y −4, los cuadrados suman 41 y, como 41 no tiene factores cuadrados, la respuesta exacta es $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . De (1, 1) a (7, 7), la suma de cuadrados es 72 y, como $72 = 36 \times 2$ , la calculadora simplifica la raíz a $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ . Mantener el radical exacto es importante cuando la distancia se usa en un cálculo posterior, como un perímetro o un área.

Distancia, punto medio y circunferencias

El punto medio es la media de las coordenadas y está exactamente a mitad del segmento, así que su distancia a cada extremo es $\frac{d}{2}$ . La fórmula de la distancia es también la ecuación de una circunferencia disfrazada: los puntos que están a distancia $r$ de un centro $(h, k)$ cumplen $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ . Para saber si un punto es interior, exterior o está sobre una circunferencia, compara su distancia al centro con el radio.

Por qué elevar al cuadrado elimina el signo

Una diferencia como $\Delta y = -4$ puede ser negativa, según el orden de los puntos, pero una longitud no. Al elevar al cuadrado, todas las diferencias pasan a ser no negativas, así que $(-4)^2$ y $4^2$ dan 16, y la raíz cuadrada final devuelve un número positivo. Por eso también intercambiar los dos puntos nunca cambia el resultado. El mismo razonamiento explica por qué no basta con sumar $|\Delta x| + |\Delta y|$ : esa es la distancia recorrida por una cuadrícula de calles, que es mayor que la línea recta salvo cuando una de las diferencias es cero.

Errores frecuentes

Olvidar que el cuadrado de una diferencia negativa es positivo.
Extraer la raíz cuadrada de cada término por separado: $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
Mezclar una coordenada x con una coordenada y al restar.
Restar las coordenadas pero olvidar elevarlas al cuadrado antes de sumar.
Redondear la raíz cuadrada demasiado pronto y usar el valor redondeado en los pasos siguientes.

Consejos

Busca ternas pitagóricas como 3-4-5 y 5-12-13 para detectar distancias enteras.
La distancia nunca es negativa y solo vale cero cuando los puntos coinciden.
Simplifica $\sqrt{n}$ sacando el mayor factor cuadrado: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Los segmentos horizontales o verticales no necesitan fórmula: la distancia es simplemente la diferencia de la coordenada que cambia.
Si solo necesitas comparar dos longitudes, compara las distancias al cuadrado en lugar de extraer la raíz.
Conserva la forma exacta, como $\sqrt{41}$ , hasta el último paso y redondea solo el resultado final.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula de la distancia?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Da la longitud del segmento que une los dos puntos.

¿Qué relación tiene con el teorema de Pitágoras?

Las diferencias en x y en y forman los dos catetos de un triángulo rectángulo; la distancia es la hipotenusa, así que $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

¿Por qué el resultado es una raíz cuadrada?

Cuando $\Delta x^2 + \Delta y^2$ no es un cuadrado perfecto, la distancia exacta es irracional. La calculadora simplifica el radical y da también su valor decimal.

¿Importa qué punto introduzco primero al medir la distancia?

No. Cada diferencia se eleva al cuadrado, así que al intercambiar los puntos se obtiene la misma distancia.

¿Puedo usar coordenadas negativas o decimales?

Sí. Los valores negativos y decimales se tratan de forma exacta hasta la raíz cuadrada final.

¿Cómo hallo también el punto medio?

Haz la media de las coordenadas x y la de las coordenadas y. La calculadora muestra el punto medio junto con la distancia.

¿Cómo simplifico la raíz cuadrada de una distancia?

Saca el mayor factor cuadrado perfecto del número que está bajo la raíz. La distancia de (1, 1) a (7, 7) es $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

¿La fórmula de la distancia sirve en tres dimensiones?

Sí, con un tercer término: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Esta calculadora trabaja con puntos del plano, así que introduce solo las coordenadas x e y.

¿Cómo compruebo si tres puntos forman un triángulo rectángulo?

Halla las longitudes de los tres lados con la fórmula de la distancia y comprueba si la suma de los cuadrados de los dos lados menores es igual al cuadrado del mayor. Si lo es, el triángulo tiene un ángulo recto.

Prueba la calculadora de distancia entre dos puntos

Introduce dos puntos y obtén la distancia exacta, su valor decimal y el punto medio paso a paso.

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Calculadora de distancia entre dos puntos

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¿Qué es la fórmula de la distancia?

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Fórmula de la distancia

Teorema de Pitágoras

Punto medio

Ejemplo resuelto: (1, 2) y (4, 6)

Respuesta final

Cómo hemos leído tu problema

Solución paso a paso

Fórmulas utilizadas

Comprobación

Explicación detallada

Radicales exactos

Distancia, punto medio y circunferencias

Por qué elevar al cuadrado elimina el signo

Errores frecuentes

Consejos

Preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula de la distancia?

¿Qué relación tiene con el teorema de Pitágoras?

¿Por qué el resultado es una raíz cuadrada?

¿Importa qué punto introduzco primero al medir la distancia?

¿Puedo usar coordenadas negativas o decimales?

¿Cómo hallo también el punto medio?

¿Cómo simplifico la raíz cuadrada de una distancia?

¿La fórmula de la distancia sirve en tres dimensiones?

¿Cómo compruebo si tres puntos forman un triángulo rectángulo?

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