Calculadora de inecuaciones

Sobre la calculadora de inecuaciones

Una ecuación pregunta dónde dos expresiones son iguales; una inecuación pregunta dónde una es mayor o menor que la otra. La respuesta no suele ser un solo número sino un conjunto de números, como todos los $x$ entre 2 y 3. Escribir ese conjunto correctamente, con los corchetes y extremos adecuados, es donde más puntos se pierden.

Esta calculadora resuelve inecuaciones lineales como $3x - 5 \ge 7$ , polinómicas como $x^2 - 5x + 6 < 0$ , racionales como $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , dobles como $-3 < 2x + 1 \le 9$ y con valor absoluto como $|x - 4| < 3$ . Siempre muestra qué puntos dividen la recta real y prueba cada intervalo, para que veas por qué la respuesta es la que es.

¿Qué es una inecuación?

Una inecuación compara dos expresiones con uno de los símbolos $<$ , $>$ , $\le$ o $\ge$ . Su conjunto solución está formado por todos los valores de la variable que hacen verdadera la comparación. Para $x + 2 > 5$ el conjunto solución son todos los números mayores que 3, lo que se escribe $(3, \infty)$ .

La notación de intervalos usa paréntesis para los extremos excluidos y corchetes para los incluidos. El infinito lleva siempre paréntesis porque no es un número que se pueda alcanzar. Los trozos separados se unen con el símbolo de unión, como en $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Cómo usar la calculadora de inecuaciones

Escribe la inecuación con <, >, <= o >=, por ejemplo x^2 - 5x + 6 < 0 o 2x + 3 >= 7.
En las inecuaciones dobles, escribe las dos comparaciones en una sola línea, como -3 < 2x + 1 <= 9.
Para el valor absoluto usa abs(), por ejemplo abs(x - 4) < 3.
Pulsa Resolver. Revisa los puntos críticos y la tabla de signos, y lee el conjunto solución en notación de intervalos.

Fórmulas

Cambio de sentido de la desigualdad

a < b \text{ y } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Valor absoluto, menor que

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Valor absoluto, mayor que

|u| > c \iff u < -c \ \text{o}\ u > c

Signo de un producto

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Ejemplo resuelto: x² − 5x + 6 < 0

En el ejemplo, $x^2 - 5x + 6 < 0$ se factoriza como $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Los puntos críticos 2 y 3 dividen la recta real en tres intervalos, y el motor prueba un valor en cada uno.

Solo el intervalo central da un producto negativo, y los extremos se excluyen porque la desigualdad es estricta, así que la respuesta es el intervalo abierto $(2, 3)$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

(2, 3)

Cómo hemos leído tu problema

Resolver la inecuación y dar la respuesta en notación de intervalos.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Solución paso a paso

Pasar todo a un miembro y factorizar
Una tabla de signos necesita la forma f(x) comparada con 0, escrita como producto o cociente de factores.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Hallar los puntos críticos
El signo solo puede cambiar en 2 (cero), 3 (cero).
Probar un punto en cada intervalo (tabla de signos)
(-∞, 2): prueba x = 1 →, signo + →, se excluye; (2, 3): prueba x = 2.5 →, signo − →, se incluye; (3, ∞): prueba x = 4 →, signo + →, se excluye
Decidir los extremos
2: se excluye; 3: se excluye
Escribir el conjunto solución
$x \in (2, 3)$

Fórmulas utilizadas

Cambio de sentido de la desigualdad
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Valor absoluto
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ o } A > c$

La inecuación se cumple exactamente para x en (2, 3). Los puntos donde la expresión no está definida nunca se incluyen, y los extremos solo se incluyen con ≤ o ≥ donde la expresión vale cero.

Comprobación

x = 1: no cumple la inecuación.
x = 2.5: cumple la inecuación.
x = 4: no cumple la inecuación.

Explicación detallada

Inecuaciones lineales

Una inecuación lineal se resuelve igual que una ecuación, con una regla adicional: siempre que multipliques o dividas los dos miembros por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad. De $-2x > 6$ se obtiene $x < -3$ , porque multiplicar por $-\tfrac12$ invierte el orden de los números en la recta.

El motivo es que cambiar de signo refleja la recta real como en un espejo. Si $5 > 2$ , entonces $-5 < -2$ . Sumar o restar el mismo número en los dos miembros nunca cambia el sentido.

El método de la tabla de signos

En las inecuaciones polinómicas y racionales, pasa todo a un miembro para que el otro sea cero. Después busca los puntos críticos: los ceros del numerador y, en las expresiones racionales, los ceros del denominador. Un polinomio solo puede cambiar de signo en un cero, así que entre dos puntos críticos consecutivos su signo es constante.

Elige un valor de prueba cualquiera dentro de cada intervalo y calcula el signo. Quédate con los intervalos donde el signo coincide con la inecuación. Por último decide cada extremo: los ceros del numerador se incluyen con $\le$ o $\ge$ , pero los ceros del denominador se excluyen siempre porque ahí la expresión no está definida.

Las raíces repetidas merecen atención. En $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ , el factor $(x - 1)^2$ nunca cambia de signo, de modo que la expresión mantiene el mismo signo a ambos lados de $x = 1$ . La tabla de signos lo resuelve automáticamente, mientras que el atajo de alternar signos falla.

Inecuaciones dobles y con valor absoluto

Una inecuación doble como $-3 < 2x + 1 \le 9$ se resuelve aplicando la misma operación a las tres partes a la vez, lo que da $-2 < x \le 4$ . Una inecuación con valor absoluto se convierte en una doble: $|x - 4| < 3$ significa que la distancia de $x$ a 4 es menor que 3, así que $1 < x < 7$ .

Errores frecuentes

Olvidar cambiar el sentido de la desigualdad tras multiplicar o dividir por un número negativo.
Multiplicar los dos miembros por una expresión como $x - 2$ cuyo signo se desconoce. Usa una tabla de signos en su lugar.
Incluir en el conjunto solución un valor que anula un denominador.
Poner corchetes junto al infinito.
Escribir $|x| > 3$ como $-3 > x > 3$ , que no cumple ningún número; significa $x < -3$ o $x > 3$ .

Consejos

Deja cero en un miembro antes de factorizar.
Dibuja siempre la recta real con los puntos críticos; evita la mayoría de los errores en los extremos.
Comprueba en la inecuación original un valor de tu respuesta y otro que quede fuera.
Las desigualdades estrictas llevan paréntesis; las no estrictas llevan corchetes en los ceros del numerador.

Preguntas frecuentes

¿Por qué cambia el sentido de la desigualdad al dividir por un número negativo?

Multiplicar por un número negativo invierte el orden de los números en la recta real. Como 5 es mayor que 2 pero menos 5 es menor que menos 2, la comparación tiene que invertirse para seguir siendo cierta.

¿Qué es la notación de intervalos?

Una forma de escribir un conjunto solución con paréntesis y corchetes. Los paréntesis excluyen un extremo, los corchetes lo incluyen y los trozos se unen con el símbolo de unión.

¿Cómo se resuelve una inecuación de segundo grado?

Pasa todo a un miembro, factoriza o calcula las raíces, márcalas en la recta real, prueba un valor en cada intervalo y quédate con los intervalos donde el signo coincide.

¿Por qué se excluyen algunos extremos en las inecuaciones racionales?

Los valores que anulan el denominador dejan la expresión sin definir, así que nunca pueden formar parte de la solución, ni siquiera con menor o igual o mayor o igual.

¿Puede una inecuación no tener solución?

Sí. Por ejemplo, x al cuadrado más 1 menor que 0 no tiene solución real, porque x al cuadrado más 1 siempre es positivo. La calculadora indica el conjunto vacío.

¿Puede una inecuación cumplirse para todos los números reales?

Sí. Por ejemplo, x al cuadrado mayor o igual que 0 se cumple para todo x real, y la calculadora responde con toda la recta real.

Prueba la calculadora de inecuaciones

Escribe una inecuación y obtén los puntos críticos, la tabla de signos y la solución en intervalos.

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