Cómo resolver ecuaciones lineales paso a paso

Qué es una ecuación lineal

Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación que puede reordenarse en la forma $ax + b = 0$, donde $a$ y $b$ son números y $a \neq 0$. La incógnita aparece solo elevada a la primera potencia: no hay $x^2$, ni $\sqrt{x}$, ni ninguna $x$ en un denominador. Como la gráfica de $y = ax + b$ es una recta, la ecuación tiene exactamente una solución, $x = -\frac{b}{a}$, que es el punto en el que esa recta corta el eje x.

Ecuaciones como $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ y $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ son todas lineales, aunque todavía no tengan el aspecto de $ax + b = 0$. El trabajo consiste en reescribirlas, paso válido a paso válido, hasta que la incógnita quede sola.

La regla de la balanza detrás de cada paso

Piensa en una ecuación como en una balanza equilibrada. Puedes hacer lo que quieras en un lado siempre que hagas exactamente lo mismo en el otro, porque dos cantidades iguales que cambian de la misma forma siguen siendo iguales. Las cuatro operaciones que vas a usar son:

• sumar el mismo número o la misma expresión a los dos miembros;
• restar el mismo número o la misma expresión a los dos miembros;
• multiplicar los dos miembros por el mismo número distinto de cero;
• dividir los dos miembros entre el mismo número distinto de cero.

Multiplicar o dividir por cero es el único movimiento prohibido: multiplicar por cero convierte cualquier ecuación en $0 = 0$ y destruye la información, y dividir entre cero no está definido.

Una rutina de cinco pasos

1. Elimina los paréntesis aplicando la propiedad distributiva: $5(x - 2)$ se convierte en $5x - 10$.
2. Elimina las fracciones o los decimales multiplicando los dos miembros por el mínimo común denominador o por una potencia de 10.
3. Agrupa los términos semejantes de cada miembro por separado.
4. Reúne los términos con la variable en un miembro y los términos independientes en el otro sumando o restando.
5. Divide entre el coeficiente de la variable y después sustituye la respuesta en la ecuación original para comprobarla.

No todas las ecuaciones necesitan todos los pasos. La rutina simplemente te da un orden que evita los líos más habituales, como intentar dividir antes de haber agrupado los términos semejantes.

Ejemplos resueltos, de sencillos a más difíciles

Fíjate en el orden. Al construir la expresión $3x + 7$, el siete se sumó al final, así que es lo primero que se quita. Resolver invierte el orden de las operaciones.

Si prefieres un coeficiente positivo, reúne los términos con la variable en el miembro que ya tiene el coeficiente mayor. En el ejemplo 3, sumar $4x$ a los dos miembros da $9 = 6x - 15$, después $24 = 6x$ y $x = 4$, sin ninguna división entre números negativos.

Ecuaciones con fracciones y decimales

Las fracciones son donde se cometen más errores, así que elimínalas al principio. Multiplica todos los términos de los dos miembros por el mínimo común denominador (mcd). Todos los términos significa todos, incluidos los números enteros que no tienen un denominador visible.

Los decimales funcionan igual, con una potencia de diez. Elige la potencia que elimine el decimal con más cifras decimales.

Puedes confirmar las ecuaciones con muchas fracciones con la calculadora de fracciones o comparar cada paso con el solucionador de ecuaciones.

Sin solución e infinitas soluciones

A veces la variable desaparece por completo mientras resuelves. Lo que queda te indica en qué caso especial estás.

Una igualdad verdadera como $6 = 6$ significa que los dos miembros son la misma expresión, así que cualquier número real es solución. Esta ecuación se llama identidad.

Una igualdad falsa como $6 = 5$ significa que ningún valor de $x$ puede hacer iguales los dos miembros: la ecuación no tiene solución. Gráficamente, los dos miembros son rectas paralelas con la misma pendiente y distinta ordenada en el origen, así que nunca se cortan.

Despejar una variable en una fórmula

La misma regla de la balanza sirve para reordenar fórmulas, lo que a menudo se llama despejar una variable en una ecuación literal. Trata cada letra, salvo la que quieres despejar, como si fuera un número.

Reescribir una ecuación de esta forma es el primer paso para representarla gráficamente, algo que puedes explorar con la calculadora de pendiente.

Cómo convertir un problema de enunciado en una ecuación

Los problemas de enunciado se convierten en ecuaciones lineales cuando una cantidad cambia a un ritmo constante. Pon nombre a la incógnita, escribe cada frase como una expresión e iguala las dos descripciones de la misma cantidad.

Puedes practicar más cómo traducir frases a ecuaciones con el solucionador de problemas de enunciado.

Errores frecuentes y cómo evitarlos

• Aplicar la propiedad distributiva solo al primer término: $3(x + 4)$ es $3x + 12$, no $3x + 4$.
• Perder un signo menos: $-(x - 5)$ es $-x + 5$. Reparte el signo menos a todos los términos del paréntesis.
• Multiplicar por el mcd solo las fracciones y olvidarse de los términos enteros.
• Pasar un término al otro lado del signo igual sin cambiarle el signo. Decir que un término «pasa» al otro lado es una forma abreviada de decir que se resta en los dos miembros.
• Quedarse en $-x = 3$. Divide entre $-1$ para obtener $x = -3$.
• Saltarse la comprobación. Sustituir en la ecuación original, y no en una línea posterior, detecta los errores cometidos en cualquier paso.

Qué estudiar después

Cuando las ecuaciones lineales te salgan de forma automática, las mismas destrezas te servirán directamente para las inecuaciones lineales, donde se aplica una regla adicional, y para los sistemas de ecuaciones, donde dos ecuaciones lineales comparten dos incógnitas. Si una ecuación contiene $x^2$, lee la guía para resolver ecuaciones de segundo grado. Para practicar, escribe cualquiera de los ejemplos anteriores en la calculadora para despejar x y compara sus pasos con los tuyos.

Preguntas frecuentes