Cómo simplificar expresiones algebraicas paso a paso

Qué significa realmente simplificar

Una expresión como $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ no tiene signo igual, así que no hay nada que resolver. Simplificarla significa encontrar una expresión equivalente, es decir, que dé el mismo valor para todo $x$ permitido, y que sea más corta y cómoda de usar. Aquí es $4x - 7$.

Equivalente es la palabra clave. Cada paso debe ser una regla algebraica válida, no una conjetura que por casualidad quede más bonita. Una prueba útil es sustituir un valor: para $x = 2$ la expresión original da $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, y $4(2) - 7 = 1$ también. Que coincidan en un punto no demuestra que dos expresiones sean equivalentes, pero que no coincidan demuestra que hay un error.

Reducir términos semejantes

Los términos semejantes tienen exactamente las mismas variables elevadas exactamente a los mismos exponentes; solo pueden diferir en el coeficiente. $3x^2$ y $-7x^2$ son semejantes. $3x^2$ y $3x$ no lo son, y tampoco $xy$ y $x^2y$.

Para reducir términos semejantes, suma sus coeficientes y deja igual la parte literal:

Subraya o colorea cada grupo de términos semejantes antes de reducirlos, y arrastra con cada término su signo. En $4x + 3y - x$, el término es $-x$, no $x$.

La propiedad distributiva y cómo quitar paréntesis

La propiedad distributiva $a(b + c) = ab + ac$ elimina los paréntesis. El factor de fuera multiplica a todos los términos de dentro, y un signo menos delante de un paréntesis es un factor $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, porque $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, no $4x^2 + 9$.

Elevar al cuadrado una suma término a término, como en $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, es uno de los errores de álgebra más frecuentes. La identidad correcta es $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Reglas de los exponentes

Los productos y cocientes de potencias se simplifican con un pequeño conjunto de reglas, válidas para cualquier base distinta de cero:

La calculadora de exponentes aplica estas reglas una a una si quieres comprobar una expresión más larga.

Simplificar fracciones algebraicas

Una fracción algebraica se simplifica factorizando por completo el numerador y el denominador y cancelando después los factores que aparecen en ambos. Solo se pueden cancelar factores, nunca términos que se suman.

La restricción $x \neq -3$ debe mantenerse aunque $(x + 3)$ ya no aparezca, porque la expresión original no está definida en ese valor. Para sumar fracciones, busca primero un denominador común:

Si lo que se te atasca es la factorización, la guía para factorizar polinomios explica todos los métodos que se usan aquí, y la calculadora de fracciones algebraicas muestra la simplificación paso a paso.

Simplificar raíces cuadradas

Extrae los factores que son cuadrados perfectos usando $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ para $a$ y $b$ no negativos. Después reduce los radicales semejantes igual que los términos semejantes.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ y $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, así que $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, que no es $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. La raíz no se reparte sobre una suma.

Un orden de trabajo razonable

1. Quita los paréntesis con la propiedad distributiva, con cuidado con los signos negativos.
2. Aplica las reglas de los exponentes a productos, cocientes y potencias.
3. Reduce los términos semejantes.
4. En las fracciones, factoriza por completo y cancela los factores comunes, conservando las restricciones.
5. Escribe el resultado en un orden estándar, normalmente por potencias decrecientes: $3x^2 - x + 4$.
6. Haz una comprobación rápida sustituyendo un valor sencillo en la expresión original y en el resultado.

Errores que cambian el valor

• Cancelar términos en lugar de factores: $\frac{x + 6}{x + 3}$ no es $2$ ni $\frac{6}{3}$.
• Aplicar un signo menos solo al primer término del paréntesis.
• Sumar exponentes al multiplicar bases distintas: $x^2 y^3$ no se puede juntar en una sola potencia.
• Escribir $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ o $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Olvidar las restricciones del dominio después de cancelar.

Pega cualquier expresión en la calculadora para simplificar y compara sus pasos con los tuyos. Cuando una expresión ya está simplificada, resolver la ecuación correspondiente es mucho más fácil; consulta cómo resolver ecuaciones lineales.

Un ejemplo resuelto más largo

Los ejercicios reales suelen combinar varias de las reglas anteriores. Resolver uno con cuidado muestra cómo el orden de los pasos mantiene la expresión bajo control.

Fíjate en que la resta delante de $(x + 1)^2$ se aplicó solo después de desarrollar el cuadrado dentro de un paréntesis. Desarrollar primero y luego repartir el signo menos a todos los términos es lo que evita el clásico error de signo.

¿Cuándo está una expresión totalmente simplificada?

Profesores y libros de texto comparten algunas convenciones para la respuesta final. Una expresión suele considerarse totalmente simplificada cuando no quedan paréntesis que se puedan desarrollar, salvo que se pida la forma factorizada; no hay dos términos semejantes; ningún exponente es negativo ni cero; ninguna fracción tiene un factor común en el numerador y el denominador; ninguna raíz cuadrada contiene un factor que sea cuadrado perfecto; y ningún denominador contiene una raíz cuadrada.

La última regla se resuelve racionalizando. Para racionalizar $\frac{6}{\sqrt{3}}$, multiplica numerador y denominador por $\sqrt{3}$ y obtendrás $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Las dos formas tienen el mismo valor, aproximadamente $3.464$, pero la segunda es la forma final habitual.

A veces la forma más sencilla depende del objetivo. La forma desarrollada $x^2 - 3x - 10$ es cómoda para leer los coeficientes, mientras que la forma factorizada $(x + 2)(x - 5)$ muestra los ceros al instante. Si un ejercicio no indica qué forma quiere, ambas son equivalentes, pero la mayoría de los profesores esperan la forma desarrollada en las sumas y la forma factorizada y simplificada en las fracciones.

Si dos respuestas de aspecto distinto superan las dos la comprobación por sustitución en dos o tres valores, casi seguro que son la misma expresión escrita de dos maneras.

Simplificar con más de una variable

Las expresiones con varias variables siguen exactamente las mismas reglas, pero es más fácil perder de vista algún término. Ordenar los términos según su parte literal antes de reducirlos ayuda. En $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$, los grupos semejantes son los términos en $a^2b$, los términos en $ab^2$ y los términos en $ab$. Al reducir cada grupo se obtiene $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. No se puede reducir nada más, porque cada término restante tiene una parte literal distinta, pero todos tienen el factor común $ab$, así que la expresión también puede escribirse como $ab(2a + 2b + 5)$.

Escribir las variables en orden alfabético dentro de cada término, por ejemplo $ba$ como $ab$, facilita encontrar los términos semejantes. Además, es una convención habitual en las respuestas finales.

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