Calculadora de factorización

Sobre la calculadora de factorización

Factorizar es reescribir un polinomio como producto de polinomios más sencillos. Es la operación inversa de quitar paréntesis multiplicando, y una de las destrezas más usadas del álgebra: sirve para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado, simplificar expresiones racionales, hallar los ceros de una gráfica y preparar integrales por fracciones simples.

Esta calculadora factoriza polinomios de una variable, como $6x^2 + 11x - 10$ o $x^4 - 16$ , y formas habituales de dos variables, como $x^2 - 9y^2$ o $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Siempre saca primero el factor común, después busca productos notables y, por último, aplica el método AC o el teorema de la raíz racional en grados mayores. Lo que ya no puede descomponerse en los racionales se indica como irreducible en lugar de quedar sin explicar.

¿Qué significa factorizar un polinomio?

Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto cuyos factores tienen cada uno menor grado. Por ejemplo, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Al multiplicar de nuevo los factores se recupera el polinomio original, que es la forma más sencilla de comprobar cualquier factorización.

Una factorización está completa cuando ningún factor puede descomponerse otra vez con coeficientes racionales. El polinomio $x^2 - 2$ es irreducible en los racionales aunque sea igual a $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ , porque $\sqrt2$ es irracional. En clase y en esta calculadora se trabaja en los racionales salvo que el problema pida explícitamente factores reales o complejos.

Cómo usar la calculadora de factorización

Escribe el polinomio usando ^ para las potencias, por ejemplo 6x^2 + 11x - 10 o x^3 - 8.
Puedes escribirlo en cualquier orden o con paréntesis, como (x + 1)(x + 2) + 3x; la calculadora lo desarrolla y lo ordena primero.
Pulsa Factorizar. El primer paso escribe el polinomio en forma estándar, con las potencias en orden decreciente.
Sigue los pasos del método: factor común, producto notable o método AC, y las pruebas de raíces racionales con la regla de Ruffini en polinomios de tercer o cuarto grado.
Lee la factorización completa al final y, si quieres verificarla, desarróllala con la calculadora para simplificar.

Fórmulas

Diferencia de cuadrados

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Trinomio cuadrado perfecto

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Suma y diferencia de cubos

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Método AC

ax^2 + bx + c:\ \text{busca } m, n \text{ con } mn = ac,\ m + n = b

Descompón $bx$ en $mx + nx$ y factoriza por agrupación.

Teorema de la raíz racional

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Las raíces candidatas son los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal.

Ejemplo resuelto: Trinomio 6x² + 11x − 10

El ejemplo resuelto usa el trinomio $6x^2 + 11x - 10$ , un caso típico en el que el coeficiente principal no es 1 y el tanteo resulta lento. El motor multiplica $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ y busca dos enteros cuyo producto sea $-60$ y cuya suma sea $11$ .

Esos enteros son $15$ y $-4$ . Al descomponer el término central como $15x - 4x$ , los cuatro términos se agrupan por parejas y cada pareja comparte un factor binomio. Multiplica el resultado para confirmarlo.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

(3x - 2)(2x + 5)

Cómo hemos leído tu problema

Factorizar un polinomio en los números racionales

6x^{2} + 11x - 10

Solución paso a paso

Escribir el polinomio en forma general
$6x^{2} + 11x - 10$
Usar el método AC
Multiplicar a·c = 6·-10 = -60. Buscar dos números cuyo producto sea -60 y cuya suma sea b = 11: 15 y -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Factorizar por agrupación
Agrupar los dos primeros términos y los dos últimos, sacar factor común en cada grupo y después extraer el binomio común. Las raíces son -5/2 y 2/3.
Escribir la factorización completa
$(3x - 2)(2x + 5)$

Fórmulas utilizadas

Diferencia de cuadrados
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Trinomio cuadrado perfecto
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Suma y diferencia de cubos
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Teorema de las raíces racionales
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ raíz} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 se factoriza por completo en los racionales como (3x - 2)(2x + 5).

Comprobación

Al desarrollar (3x - 2)(2x + 5) se vuelve a obtener 6x^2 + 11x - 10.

Explicación detallada

El orden de los métodos importa

Una rutina de factorización fiable empieza siempre por el factor común. Al sacar $2$ de $2x^2 - 18$ queda $x^2 - 9$ , que entonces se reconoce como diferencia de cuadrados. Saltarse ese paso oculta el patrón y deja una respuesta incompleta como $(2x - 6)(x + 3)$ , que todavía contiene el factor común 2.

Tras el factor común, conviene fijarse en la forma. Dos términos sugieren una diferencia de cuadrados o una suma o diferencia de cubos; tres términos, un trinomio cuadrado perfecto o el método AC; cuatro términos suelen factorizarse por agrupación. Desde el tercer grado, la calculadora prueba las candidatas a raíz racional y divide cada raíz que encuentra por Ruffini, lo que baja el grado en uno cada vez y da el mismo resultado que la agrupación, por ejemplo $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Por qué funciona el método AC

Si $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , al desarrollar se obtiene $pr = a$ , $qs = c$ y $ps + qr = b$ . Los dos números $ps$ y $qr$ tienen producto $pq rs = ac$ y suma $b$ . Así que encontrar dos números de producto $ac$ y suma $b$ equivale exactamente a encontrar los términos cruzados, y la agrupación recupera los binomios.

Cuando no existe ninguna pareja de enteros, el polinomio de segundo grado no tiene raíces racionales y es irreducible en los racionales. Puedes confirmarlo con el discriminante $b^2 - 4ac$ : hay factores racionales precisamente cuando es un cuadrado perfecto.

Polinomios de grado mayor

En una cúbica como $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , el teorema de la raíz racional limita las candidatas a $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Al probarlas se ve que $x = 1$ es raíz, la regla de Ruffini deja $x^2 - 5x + 6$ , y ese polinomio se factoriza como $(x - 2)(x - 3)$ .

Las cuárticas sin raíces racionales pueden descomponerse aun así en dos polinomios de segundo grado, como en $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . La calculadora busca parejas de polinomios de segundo grado con coeficientes enteros antes de declarar irreducible una cuártica.

Errores frecuentes

Olvidar sacar primero el factor común, lo que deja una factorización incompleta.
Tratar $a^2 + b^2$ como factorizable en los reales. Una suma de cuadrados no se factoriza sin números complejos.
Errores de signo en los cubos: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , con signo más en el término central del segundo factor.
Detenerse tras un solo paso, por ejemplo dejar $x^4 - 16$ como $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ cuando $x^2 - 4$ todavía se factoriza.
Perder un factor $-1$ al sacar un coeficiente principal negativo.

Consejos

Comprueba siempre multiplicando de nuevo los factores.
Escribe el polinomio en potencias decrecientes antes de elegir un método.
En el método AC, enumera las parejas de divisores de $ac$ de forma ordenada, de menor a mayor.
Usa el discriminante para decidir rápidamente si un polinomio de segundo grado se factoriza en los racionales.
Si necesitas las raíces y no los factores, iguala cada factor a cero.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el primer paso para factorizar cualquier polinomio?

Saca el factor común de todos los términos, incluida cualquier potencia común de la variable. Cualquier otro método funciona mejor con lo que queda.

¿Cómo factorizo un trinomio cuyo coeficiente principal no es 1?

Usa el método AC: multiplica a por c, busca dos números con ese producto cuya suma sea b, descompón el término central en esas dos partes y factoriza por agrupación.

¿Qué significa irreducible?

Un polinomio es irreducible en los racionales cuando no puede escribirse como producto de polinomios de menor grado con coeficientes racionales. Por ejemplo, x al cuadrado más 1 y x al cuadrado menos 2 son irreducibles en los racionales.

¿Puede factorizar polinomios de tercer y cuarto grado?

Sí. Prueba las raíces racionales con el teorema de la raíz racional, las divide por Ruffini y, en las cuárticas, busca además una descomposición en dos polinomios de segundo grado con coeficientes enteros.

¿Factoriza expresiones con dos variables?

Admite las formas habituales de dos variables: un factor monomio común, polinomios homogéneos como x al cuadrado menos 5xy más 6y al cuadrado, diferencias de cuadrados y agrupación por una variable. Las expresiones con tres o más variables no están admitidas.

¿Qué relación hay entre factorizar y resolver ecuaciones?

Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que ser cero. Por eso, factorizar un polinomio igualado a cero convierte una ecuación difícil en varias sencillas.

¿Por qué mi respuesta está escrita distinto que en el libro?

Los factores pueden aparecer en cualquier orden, y un factor menos uno puede pasar de un paréntesis a otro. Desarrolla las dos versiones; si dan el mismo polinomio, ambas son correctas.

Prueba la calculadora de factorización

Escribe un polinomio y sigue cada método, del factor común a la factorización completa.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA