Calculadora de MCD

Q: ¿Cuál es el MCD de un número y 0?

Todo entero divide a 0, así que gcd(a, 0) = |a|. El MCD de 0 y 0 no está definido.

Sobre la calculadora de MCD

El máximo común divisor de un conjunto de enteros es el mayor entero positivo que divide exactamente a cada uno de ellos. Sirve para simplificar fracciones, sacar factor común en expresiones y repartir cantidades en grupos iguales.

La calculadora descompone cada número en factores primos y además aplica el algoritmo de Euclides, para que puedas comparar un método visual con el más rápido.

¿Qué es el máximo común divisor?

Un divisor de un número entero lo divide sin dejar resto: los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Un divisor común de varios números los divide a todos, y el máximo común divisor es el mayor de ellos. Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18, así que los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6, y el MCD es 6.

Hacer la lista de divisores funciona con números pequeños, pero enseguida se vuelve lento. La descomposición en factores primos y el algoritmo de Euclides encuentran el MCD sin hacer listas, y ambos sirven para cualquier cantidad de valores: el MCD de tres números es el MCD de los dos primeros combinado con el tercero.

Cómo usar la calculadora de MCD

Escribe de dos a diez números enteros separados por comas o espacios.
Pulsa Calcular el MCD.
Consulta la descomposición en factores primos de cada número, los primos comunes y las divisiones del algoritmo de Euclides.

Fórmulas

Algoritmo de Euclides

\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

A partir de la descomposición en factores primos

\gcd = \prod p^{\min(e_1, e_2, \ldots)}

Se toma cada primo común con su menor exponente.

Relación con el mcm

\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|

Ejemplo resuelto: 48, 180

El ejemplo resuelto calcula el MCD de 48 y 180. La descomposición en factores primos da $48 = 2^4 \times 3$ y $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ . El algoritmo de Euclides divide 180 entre 48 (resto 36), luego 48 entre 36 (resto 12) y después 36 entre 12 (resto 0), así que el MCD es 12. Tomar los primos comunes con su menor exponente, $2^2 \times 3 = 12$ , lo confirma, y las comprobaciones muestran que 48 y 180 divididos entre 12 dan 4 y 15.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

12

Cómo hemos leído tu problema

Calcular el máximo común divisor (MCD) de los números.

Solución paso a paso

Descomposición en factores primos de cada número
$48 = 2^{4} \times 3,\quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$
Algoritmo de Euclides para GCF(48, 180)
180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0
$180 = 3 \times 48 + 36 \\ 48 = 1 \times 36 + 12 \\ 36 = 3 \times 12 + 0$
El último resto distinto de cero es el MCD
$\gcd(48, 180) = 12$
Comprobar con los factores primos comunes
Se multiplican los primos comunes a todos los números, cada uno con su menor exponente.
$2^{2} \times 3 = 12$

Fórmulas utilizadas

Algoritmo de Euclides
$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a$

12 es el mayor número entero que divide exactamente a todos los números.

Comprobación

48 ÷ 12 = 4
180 ÷ 12 = 15

Explicación detallada

Por qué funciona el algoritmo de Euclides

Cualquier número que divida a $a$ y a $b$ también divide a $a - b$ , y por tanto también divide al resto de dividir $a$ entre $b$ . Así, el par $(a, b)$ y el par $(b, a \bmod b)$ tienen exactamente los mismos divisores comunes. Cada paso reduce los números, y cuando el resto llega a 0, el número que queda se divide a sí mismo y divide a 0, así que es el máximo común divisor. El método necesita solo unas pocas divisiones incluso con números muy grandes, y por eso se usa en la aritmética de los ordenadores y en criptografía.

Para qué se usa el MCD

Dividir el numerador y el denominador entre su MCD convierte una fracción en irreducible de una sola vez: $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ . En álgebra, lo primero es sacar factor común el MCD de los coeficientes, como en $12x + 18 = 6(2x + 3)$ . En los problemas verbales responde a preguntas como cuál es el mayor número de grupos iguales que se pueden formar: 24 lápices, 36 gomas y 60 pegatinas se pueden repartir como mucho en 12 lotes idénticos, porque $\gcd(24, 36, 60) = 12$ .

Descomposición en factores primos frente al algoritmo de Euclides

La descomposición en factores primos deja ver la estructura: se aprecia exactamente qué primos comparten los números y por qué el resultado es el que es, algo útil cuando se está aprendiendo o cuando también hace falta el mcm. Su punto débil es que factorizar números grandes es lento. El algoritmo de Euclides no factoriza nada; solo divide y se queda con los restos, así que sigue siendo rápido con números de decenas de cifras. La calculadora muestra los dos para que cada uno confirme al otro.

Errores frecuentes

Multiplicar todos los primos que aparecen en lugar de solo los comunes.
Usar el mayor exponente de un primo común; el MCD usa el menor.
Concluir que no hay MCD cuando los números son coprimos; en ese caso el MCD es 1.
Detener el algoritmo de Euclides un paso antes y dar el último cociente en lugar del último resto distinto de cero.

Consejos

Si un número divide a todos los demás, ese número es el MCD.
El MCD de dos enteros consecutivos siempre es 1.
Usa el MCD del numerador y el denominador para simplificar una fracción de una sola vez.
Comprueba el resultado dividiendo cada número entre él; los cocientes no deben tener ningún divisor común aparte de 1.
Con tres números o más, calcula primero el MCD de dos de ellos y combina ese resultado con el siguiente número.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el máximo común divisor?

Es el mayor entero positivo que divide sin resto a todos los números del conjunto. Para 48 y 180 es 12.

¿Es lo mismo MCD que máximo factor común?

Sí. Máximo común divisor, máximo factor común y, en inglés, GCD, GCF o HCF son nombres distintos para el mismo número.

¿Cómo funciona el algoritmo de Euclides?

Divide el número mayor entre el menor y quédate con el resto. Sustituye el par por (menor, resto) y repite hasta que el resto sea 0; el último divisor distinto de cero es el MCD.

¿Cuál es el MCD de números sin divisores comunes?

Es 1. Esos números se llaman coprimos o primos entre sí, por ejemplo 8 y 15.

¿Se puede calcular el MCD de números negativos?

Sí. La divisibilidad no depende del signo, así que el MCD se calcula con los valores absolutos y siempre es positivo.

¿Cuál es el MCD de un número y 0?

Todo entero divide a 0, así que $\gcd(a, 0) = |a|$ . El MCD de 0 y 0 no está definido.

¿Cómo se calcula el MCD de tres números?

Calcula el MCD de dos de ellos y luego el MCD de ese resultado y el tercero. Para 24, 36 y 60: $\gcd(24, 36) = 12$ y $\gcd(12, 60) = 12$ .

¿Cómo ayuda el MCD a simplificar fracciones?

Divide el numerador y el denominador entre su MCD y la fracción queda irreducible de inmediato. Como $\gcd(48, 180) = 12$ , $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ .

Prueba la calculadora de MCD

Escribe tus números y compara la descomposición en factores primos con el algoritmo de Euclides.

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Sobre la calculadora de MCD

¿Qué es el máximo común divisor?

Cómo usar la calculadora de MCD

Fórmulas

Algoritmo de Euclides

A partir de la descomposición en factores primos

Relación con el mcm

Ejemplo resuelto: 48, 180

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Fórmulas utilizadas

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Preguntas frecuentes

¿Qué es el máximo común divisor?

¿Es lo mismo MCD que máximo factor común?

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