Saltar al contenido
MathSolver Pro
  • Abrir el solucionador
  • Preguntar al tutor IA
  • Buscar un curso AP
  • Crear un cuestionario
  • Abrir la calculadora
  • Calculadora gráfica
  • Ver todas las calculadoras
  • Leer guías de matemáticas
↑ ↓Intro para abrir · Esc para cerrar
Resolver un problema

Calculadora de mcm

Encuentra el menor número positivo que es múltiplo de todos los valores de tu lista, con el razonamiento explicado.

De dos a diez números enteros separados por comas o espacios.

Ejemplos

Sobre la calculadora de mcm

El mínimo común múltiplo de un conjunto de enteros es el menor entero positivo que es múltiplo de cada uno de ellos. Es el mínimo común denominador al sumar fracciones y la respuesta a muchos problemas de horarios y coincidencias.

Esta herramienta construye el mcm a partir de la descomposición en factores primos y lo confirma con la identidad lcm⁡(a,b)=∣ab∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}.

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicarlo por 1, 2, 3, etcétera: los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48 y así sucesivamente, y los de 18 son 18, 36, 54 y así sucesivamente. Un múltiplo común aparece en las dos listas, y el mínimo común múltiplo es el primero de ellos, en este caso 36.

Todo par de enteros positivos tiene infinitos múltiplos comunes, y todos ellos son múltiplos del mcm. El mcm nunca es menor que el mayor número de la lista ni mayor que el producto de todos ellos; coincide exactamente con el producto cuando los números no comparten ningún factor primo.

Cómo usar la calculadora de mcm

  1. Escribe de dos a diez números enteros separados por comas o espacios.
  2. Pulsa Calcular el mcm.
  3. Revisa la descomposición en factores primos de cada número y la mayor potencia de cada primo que se utiliza.

Fórmulas

A partir de la descomposición en factores primos

lcm⁡=∏pmax⁡(e1,e2,…)\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Usando el MCD

lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Más de dos números

lcm⁡(a,b,c)=lcm⁡(lcm⁡(a,b),c)\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Ejemplo resuelto: 12, 18

El ejemplo resuelto calcula el mcm de 12 y 18. Sus descomposiciones en factores primos son 12=22×312 = 2^2 \times 3 y 18=2×3218 = 2 \times 3^2. Como gcd⁡(12,18)=6\gcd(12, 18) = 6, la identidad da 12×186=2166=36\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36. Tomar cada primo con su mayor exponente, 22×32=362^2 \times 3^2 = 36, da el mismo resultado, y las comprobaciones confirman que 36 es divisible exactamente entre 12 y entre 18.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

3636

Cómo hemos leído tu problema

Calcular el mínimo común múltiplo de los números.

Solución paso a paso

  1. Descomposición en factores primos de cada número

    12=22×3,18=2×3212 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}

  2. Usar el MCD para combinar 12 y 18

    lcm⁡(12,18)=12×18gcd⁡(12,18)=2166=36\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36

  3. Comprobar con los factores primos

    Se toman todos los primos que aparecen, cada uno con su mayor exponente.

    22×32=362^{2} \times 3^{2} = 36

Fórmulas utilizadas

  • mcm a partir del MCD

    lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

36 es el menor número positivo que todos los números dados dividen exactamente.

Comprobación

  • 36 ÷ 12 = 3
  • 36 ÷ 18 = 2

Explicación detallada

Por qué las mayores potencias

Un múltiplo de 12 debe contener 222^2 y 3 entre sus factores primos, y un múltiplo de 18 debe contener 2 y 323^2. Para ser múltiplo de ambos, un número necesita 222^2 para cubrir el 12 y 323^2 para cubrir el 18, y no necesita nada más. Tomar cada primo con su mayor exponente es, por tanto, la opción más pequeña que cubre todos los números, que es justo la definición de mínimo común múltiplo.

El mcm en las fracciones y en los horarios

El mínimo común denominador de dos fracciones es el mcm de sus denominadores. Para sumar 512+718\frac{5}{12} + \frac{7}{18} se reescriben ambas sobre 36, lo que mantiene los números más pequeños que si se usara 12×18=21612 \times 18 = 216. El mcm también resuelve preguntas de horarios: si un autobús sale cada 8 minutos, otro cada 12 y un tercero cada 15, vuelven a salir a la vez al cabo de lcm⁡(8,12,15)=120\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120 minutos.

Si en la lista aparece un 0, la calculadora da 0 por convenio y explica que 0 es múltiplo de cualquier entero, ya que en ese caso no existe ningún múltiplo común positivo.

Cómo encajan el mcm y el MCD

Para dos enteros positivos, el producto del MCD por el mcm siempre es igual al producto de los propios números. El motivo se ve en la descomposición en factores primos: para cada primo, el MCD toma el exponente menor y el mcm el mayor, y entre los dos usan cada exponente exactamente una vez. Con 12 y 18, el MCD 6 y el mcm 36 multiplicados dan 216, que es 12×1812 \times 18. Esta identidad no se extiende directamente a tres números o más, así que la calculadora los combina de dos en dos.

Errores frecuentes

  • Multiplicar todos los números entre sí; así se obtiene un múltiplo común, pero a menudo no el mínimo.
  • Tomar la menor potencia de cada primo; el mcm necesita la mayor.
  • Confundir el mcm con el MCD: el mcm es como mínimo tan grande como el mayor de los números.
  • Hacer la lista de múltiplos solo del número mayor y quedarse con el primero sin comprobarlo con los demás.

Consejos

  • Si un número es múltiplo de todos los demás, ese número es el mcm.
  • Si los números son coprimos, el mcm es simplemente su producto.
  • Usa el mcm de los denominadores como común denominador al sumar fracciones.
  • Comprueba cualquier mcm dividiéndolo entre cada número; todos los cocientes deben ser enteros.
  • Con dos números, calcula primero el MCD; dividir su producto entre él suele ser el camino más rápido.
  • Si los números son pequeños, escribe algunos múltiplos del mayor y prueba cada uno con los demás; el primero que funcione es el mcm.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

Es el menor entero positivo que es divisible exactamente entre cada uno de los números. El mcm de 4, 6 y 10 es 60.

¿Qué relación hay entre el mcm y el MCD?

Para dos enteros positivos, su producto es igual al MCD por el mcm, así que lcm⁡(a,b)=abgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}.

¿Cuándo necesito el mcm?

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador y en problemas que preguntan cuándo vuelven a coincidir sucesos que se repiten.

¿Cuál es el mcm si uno de los números es 0?

El cero es múltiplo de cualquier número, pero el mcm se define como el menor múltiplo común positivo, así que por convenio lcm⁡(a,0)=0\operatorname{lcm}(a, 0) = 0.

¿Puede el mcm ser menor que los números?

No. El mcm siempre es como mínimo tan grande como el mayor valor absoluto de la lista (salvo que aparezca un 0).

¿La calculadora admite números negativos?

Sí. El signo no afecta a los múltiplos, así que el mcm se calcula con los valores absolutos y se da como un número positivo.

¿Cómo se calcula el mcm de tres números?

Combínalos de dos en dos: lcm⁡(8,12)=24\operatorname{lcm}(8, 12) = 24 y después lcm⁡(24,15)=120\operatorname{lcm}(24, 15) = 120. O toma cada primo con su mayor exponente: 23×3×5=1202^3 \times 3 \times 5 = 120.

¿Qué diferencia hay entre el mcm y el mínimo común denominador?

El mínimo común denominador es simplemente el mcm aplicado a los denominadores de unas fracciones. Para 512\frac{5}{12} y 718\frac{7}{18} es lcm⁡(12,18)=36\operatorname{lcm}(12, 18) = 36.

Prueba la calculadora de mcm

Escribe tus números y consulta la descomposición en factores primos y la comprobación.

Usar la calculadoraPreguntar al solucionador con IA

Más calculadoras de matemáticas

Calculadora de fraccionesMatemáticas generalesCalculadora de porcentajesMatemáticas generalesCalculadora de MCDMatemáticas generalesCalculadora para despejar xÁlgebraCalculadora de ecuacionesÁlgebraCalculadora de ecuaciones de segundo gradoÁlgebra