Calculadora de derivadas

Q: ¿Qué me dice la segunda derivada sobre una gráfica?

Su signo indica la curvatura. Donde f'' > 0 la gráfica se curva hacia arriba (convexa), donde f'' < 0 se curva hacia abajo (cóncava), y donde cambia de signo hay un punto de inflexión.

Q: ¿Dónde no es derivable una función?

En las esquinas, los picos, las tangentes verticales y los saltos de la gráfica. Por ejemplo, |x| tiene una esquina en 0, donde las pendientes por la izquierda y por la derecha son -1 y 1, así que no existe una única tangente.

Sobre la calculadora de derivadas

La derivada $f'(x)$ mide la tasa de variación instantánea de $f$ : la pendiente de la recta tangente en cada punto. Se obtiene aplicando un pequeño conjunto de reglas a la estructura de la expresión.

Esta calculadora convierte tu función en un árbol, aplica en cada nodo la regla que corresponde y la anota como un paso. El resultado se simplifica y, antes de mostrarse, se contrasta con un derivador independiente en varios puntos de muestra.

Elige un orden hasta la quinta derivada y, si quieres, un valor de x en el que evaluar el resultado.

¿Qué es realmente una derivada?

La derivada de una función mide lo rápido que cambia su salida cuando cambia su entrada. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente, la recta que roza la gráfica en un punto y lleva allí la misma dirección que la curva. En una recta la pendiente es la misma en todas partes, pero en una curva como $y = x^2$ cambia de un punto a otro, así que la derivada es a su vez una función: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ indica que la pendiente vale 2 en $x = 1$ , 6 en $x = 3$ y $-4$ en $x = -2$ .

Formalmente, la derivada es un límite de cocientes incrementales, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ . El cociente es la pendiente de una recta secante que pasa por dos puntos cercanos de la gráfica, y al hacer que $h$ tienda a cero la secante se convierte en la tangente. Calcular ese límite directamente cada vez sería lento, así que en la práctica las derivadas se hallan con un pequeño conjunto de reglas, cada una demostrada una sola vez a partir de la definición por límites. La calculadora aplica exactamente esas reglas e indica cuál se usa en cada paso.

Las derivadas aparecen siempre que importan las tasas de variación: la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad, el coste marginal es la derivada del coste total y la velocidad de una reacción química es la derivada de una concentración.

Esta calculadora deriva respecto de $x$ . Para funciones de varias variables, usa la calculadora de derivadas parciales, y para ecuaciones que mezclan $x$ e $y$ , la derivación implícita.

Cómo usar la calculadora de derivadas

Introduce la función de x, por ejemplo x^2 sin(x) o e^(3x)/x. También puedes escribir d/dx delante.
Elige el orden: primera, segunda, hasta la quinta derivada.
Si quieres, introduce un valor de x para evaluar allí la derivada y pulsa Derivar.

Fórmulas

Regla de la potencia

\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}

Regla del producto

(uv)' = u'v + uv'

Regla del cociente

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Regla de la cadena

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Derivadas inmediatas

(\sin x)' = \cos x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac1x

Ejemplo resuelto: x² sin(x)

El ejemplo deriva $f(x) = x^2 \sin x$ . La función es el producto de $u = x^2$ y $v = \sin x$ , así que la calculadora aplica la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$ . Obtiene $u' = 2x$ con la regla de la potencia y $v' = \cos x$ de las derivadas trigonométricas inmediatas, y después las combina en $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ . Por último, el resultado se compara numéricamente con un cociente incremental en varios puntos para confirmarlo.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)

Cómo hemos leído tu problema

Calcular la derivada de x² sin(x) respecto de x.

\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right]

Solución paso a paso

Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right] = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$
d/dx[sin x] = cos x
$\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Reunir y simplificar
$f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$

Fórmulas utilizadas

Potencia de una potencia
$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$
Producto de potencias de igual base
$(uv)' = u'v + uv'$

La derivada se construye de fuera hacia dentro: las sumas se separan en términos, las constantes salen como factor, los productos y los cocientes usan sus reglas y cada función compuesta se multiplica por la derivada de su interior (regla de la cadena).

Comprobación

Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra ✓

Explicación detallada

Las reglas básicas

Casi todas las derivadas de un primer curso salen de unas pocas reglas. La regla de la potencia da $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ para cualquier $n$ real, lo que incluye también las raíces, ya que $\sqrt{x} = x^{1/2}$ tiene derivada $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Las reglas del factor constante y de la suma permiten derivar un polinomio término a término. La regla de la exponencial dice que $e^x$ es su propia derivada, y la del logaritmo da $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ . Cada una de las seis funciones trigonométricas tiene una derivada inmediata, empezando por $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ y $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ .

Esas derivadas básicas se combinan mediante tres reglas estructurales. La regla del producto trata $f \cdot g$ , la del cociente trata $\frac{f}{g}$ y la de la cadena trata una función dentro de otra. Reconocer qué estructura tienes delante es la mayor parte del trabajo, y por eso la calculadora nombra la regla en el título de cada paso.

La regla de la cadena en la práctica

La regla de la cadena dice que si $y = f(g(x))$ , entonces $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ : deriva la función exterior, deja el interior como está y multiplica después por la derivada del interior. Para $\sin(x^2)$ , la función exterior es el seno y el interior es $x^2$ , así que la derivada es $\cos(x^2) \cdot 2x$ . La calculadora lo escribe como $2\cos(x^2)\,x$ , que es la misma expresión con los factores en otro orden.

La regla de la cadena también se esconde dentro de otras reglas. En $e^{3x}$ el interior es $3x$ , así que la derivada es $3e^{3x}$ , y la calculadora llama a este paso regla de la exponencial con $e^u \cdot u'$ . Olvidar el factor que aporta la función interior es el error más frecuente al derivar, y comparar tu resultado con el paso de la calculadora para la función interior es la forma más rápida de encontrarlo.

Cocientes y simplificación

Para un cociente $\frac{u}{v}$ , la regla es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ . El orden del numerador importa porque la resta no es conmutativa. Al derivar $\frac{e^{3x}}{x}$ se obtiene $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ , que la calculadora simplifica a $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ . Las dos formas son correctas, igual que $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ . Si tu resultado tiene otro aspecto, sustituye un valor como $x = 1$ en ambos; que coincidan en varios puntos es un indicio sólido de que las expresiones son equivalentes.

Derivadas sucesivas y evaluación en un punto

Al derivar otra vez se obtiene la segunda derivada, que mide cómo cambia la propia pendiente. Una segunda derivada positiva significa que la gráfica es convexa, curvada como una taza, y una negativa, que es cóncava. Para $f(x) = x^3$ la primera derivada es $3x^2$ y la segunda, $6x$ ; al evaluar en $x = 2$ se obtiene $f''(2) = 12$ . En física, si $x^3$ fuera una posición, 12 sería la aceleración en el instante 2.

Evaluar la primera derivada en un punto da la pendiente de la recta tangente en él y, junto con el propio punto, permite escribir la recta tangente en la forma punto-pendiente. En ello se basan la aproximación lineal y el método de Newton para resolver ecuaciones.

Usar las derivadas para hallar máximos y mínimos

Una función derivable solo puede alcanzar un máximo o un mínimo relativo donde su derivada vale cero o no está definida, porque en la cima de una colina o en el fondo de un valle la recta tangente es horizontal. Para optimizar una función, derívala, plantea $f'(x) = 0$ , despeja $x$ y estudia cada candidato. Para $f(x) = x^3 - 3x$ la derivada es $3x^2 - 3$ , que se anula en $x = -1$ y en $x = 1$ . La segunda derivada $6x$ es negativa en $-1$ y positiva en $1$ , así que la gráfica tiene un máximo relativo en $(-1, 2)$ y un mínimo relativo en $(1, -2)$ .

En un intervalo cerrado, los valores máximo y mínimo también pueden estar en los extremos, así que compara allí la función también. Muchos problemas aplicados, como minimizar el material de una caja de volumen fijo, siguen exactamente este esquema una vez escrita la magnitud que se quiere optimizar como función de una sola variable.

Cómo comprueba la calculadora su resultado

La derivación simbólica puede fallar de formas sutiles, sobre todo al simplificar, así que no se da el resultado por bueno sin más. La calculadora evalúa su derivada en un conjunto de puntos de muestra y la compara con un cociente incremental centrado, $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ para un $h$ pequeño, calculado directamente a partir de tu función original. Si ambos coinciden con una tolerancia estricta en todos los puntos en los que la función está definida, la comprobación se supera y se indica bajo el resultado. Puedes aplicar la misma idea a mano con una calculadora: elige un valor de $x$ , desplázalo un poco hacia arriba y hacia abajo y mira si la variación de $f$ dividida entre la variación de $x$ coincide con tu derivada.

Errores frecuentes

Olvidar la derivada interior en la regla de la cadena: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ , no $\cos 3x$ .
Escribir $(uv)' = u'v'$ ; la regla del producto tiene dos términos.
Invertir el orden del numerador en la regla del cociente.
Aplicar la regla de la potencia a $a^x$ ; las exponenciales necesitan $(a^x)' = a^x \ln a$ .
Escribir $(uv)' = u'v'$ ; la derivada de un producto no es el producto de las derivadas.
Tratar una constante como $\pi$ o $e^2$ como si fuera una variable y derivarla.

Consejos

Reescribe las raíces y los inversos como potencias: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac1{x^2} = x^{-2}$ .
Identifica la última operación de la expresión; te dice qué regla aplicar primero.
Usa la derivación logarítmica para funciones como $x^x$ .
Antes de derivar, reescribe las raíces y los inversos como potencias: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ .
Usa la regla del cociente solo cuando el denominador contenga $x$ ; $\frac{x^2}{5}$ es simplemente $\frac15x^2$ .
Simplifica la función antes de derivar cuando puedas; $\frac{x^3 + x}{x}$ es simplemente $x^2 + 1$ para $x \ne 0$ .

Preguntas frecuentes

¿Qué es una derivada?

Es la tasa a la que cambia una función respecto de su variable, igual a la pendiente de la recta tangente: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

¿Qué funciones puedo derivar?

Polinomios, potencias y raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, funciones hiperbólicas y cualquier combinación de ellas mediante +, −, ×, ÷ y composición.

¿Cómo calculo una segunda derivada?

Elige Segunda derivada en el menú Orden. La calculadora vuelve a derivar la primera derivada simplificada y muestra las dos etapas.

¿Puedo evaluar la derivada en un punto?

Sí. Escribe un valor como 2 o pi/4 en la casilla Evaluar en para obtener $f'(a)$ , la pendiente de la tangente en $x = a$ .

¿Cómo sé que el resultado es correcto?

Cada resultado se compara numéricamente con una derivada calculada de forma independiente en 8 puntos de muestra. Si no coinciden, no se muestra ningún resultado.

¿Por qué mi resultado tiene otro aspecto que el del libro?

Las expresiones equivalentes pueden escribirse de muchas formas, por ejemplo $\frac{2x}{x^2+1}$ y $2x(x^2+1)^{-1}$ . Sustituye un valor en ambas para confirmar que coinciden.

¿Cómo se usa la regla de la cadena?

Deriva la función exterior manteniendo sin cambios la expresión interior y multiplica después por la derivada de la expresión interior. Para $\sin(x^2)$ se obtiene $\cos(x^2) \cdot 2x$ .

¿Qué me dice la segunda derivada sobre una gráfica?

Su signo indica la curvatura. Donde $f'' > 0$ la gráfica se curva hacia arriba (convexa), donde $f'' < 0$ se curva hacia abajo (cóncava), y donde cambia de signo hay un punto de inflexión.

¿Dónde no es derivable una función?

En las esquinas, los picos, las tangentes verticales y los saltos de la gráfica. Por ejemplo, $|x|$ tiene una esquina en 0, donde las pendientes por la izquierda y por la derecha son $-1$ y $1$ , así que no existe una única tangente.

Prueba la calculadora de derivadas

Escribe una función y obtén su derivada con cada regla explicada y comprobada.

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