Calculadora de series de Taylor

De dónde salen los coeficientes

Supón que un polinomio $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ debe coincidir con $f$ en $a$. Al hacer $x = a$ se anulan todos los términos salvo $c_0$, así que $c_0 = f(a)$. Si se deriva una vez y se hace $x = a$, queda $c_1 = f'(a)$. Si se deriva dos veces, queda $2c_2 = f''(a)$, y en general $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

Esa es toda la deducción, y explica los factoriales: deshacen las constantes que se acumulan al derivar $(x - a)^k$ un total de $k$ veces. La calculadora lo muestra como una tabla de $f^{(k)}(a)$ y $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ para cada $k$, la misma tabla que construirías a mano.

Patrones en las series más habituales

Para $\sin x$ en torno a 0, las derivadas recorren el ciclo $\sin, \cos, -\sin, -\cos$, que en 0 toman los valores $0, 1, 0, -1$. Todos los coeficientes de potencias pares son cero, y el polinomio de orden 7 es $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. El coseno da, en cambio, las potencias pares: hasta orden 4 es $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Para $\ln x$ en torno a 1, la derivada $k$-ésima es $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$, así que los coeficientes son $\pm\frac1k$ y la serie es $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. Reconocer estos patrones te permite escribir muchas series sin calcular ninguna derivada, y hacer sustituciones en ellas, por ejemplo cambiar $x$ por $-x^2$ en la serie de $e^x$.

¿Qué precisión tiene la aproximación?

El teorema de Taylor acota el error. El resto $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ es igual a $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algún $c$ entre $a$ y $x$. Dos cosas lo hacen pequeño: estar cerca del centro, de modo que $(x - a)^{n+1}$ sea diminuto, y el factorial del denominador, que acaba superando a cualquier potencia.

El ejemplo de la raíz cuadrada muestra el primer efecto. El polinomio de orden 3 de $\sqrt{x}$ en torno a 4 es $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. En $x = 4.1$ da aproximadamente 2.024845703 frente al valor real 2.024845673, un error cercano a $3\times10^{-8}$, porque $0.1^4$ ya es muy pequeño.

Lejos del centro, la situación cambia. Para $\frac{1}{1-x}$, los polinomios se ajustan bien en $x = 0.1$ pero no sirven de nada en $x = 2$, porque la serie solo converge para $|x| < 1$. En $x = 2$, el polinomio de orden 5 da 63 mientras que la función vale $-1$, un error de 64 que crece con cada término añadido. El informe de error de la calculadora lo hace visible: prueba la misma función y el mismo orden en un punto cercano y en uno lejano y compara.

Elegir el centro

Elige un centro en el que la función y sus derivadas sean fáciles de evaluar y que esté cerca de donde necesitas la aproximación. Desarrollar $\sqrt{x}$ en torno a 4 es natural porque $\sqrt4 = 2$ exactamente. Desarrollar $\ln x$ en torno a 0 es imposible porque la función no está definida allí, y desarrollar $|x|$ en torno a 0 falla porque no es derivable en ese punto; la calculadora explica estos casos en lugar de producir un polinomio sin sentido.

Los polinomios de Taylor en la práctica

La aproximación para ángulos pequeños $\sin\theta \approx \theta$ es simplemente el polinomio de Maclaurin de orden 1 del seno, y su error es inferior al 1 % para ángulos menores de unos 14 grados. La fórmula del periodo de un péndulo, la aproximación paraxial en óptica y la ley lineal de los muelles salen todas de quedarse solo con el primer término o los dos primeros de un desarrollo de Taylor.

Los polinomios de Taylor también convierten problemas difíciles en fáciles. Un límite como $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ resulta evidente en cuanto se sustituye $\cos x$ por $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$, y una integral sin primitiva elemental, como $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, se puede aproximar integrando un polinomio término a término.