Series de Taylor: aproximar funciones con polinomios

La idea: igualar las derivadas

Los polinomios son las funciones más fáciles de manejar. Se pueden evaluar usando solo sumas y multiplicaciones, y derivarlos o integrarlos es rutinario. Funciones como $e^x$, $\sin x$ y $\ln x$ son mucho más difíciles de calcular a mano. La idea de una serie de Taylor es encontrar un polinomio que se comporte como la función cerca de un punto elegido $a$.

La recta que mejor se ajusta en un punto es la recta tangente, que coincide allí con el valor de la función y con su primera derivada. Una parábola puede coincidir además con la segunda derivada, de modo que sigue la curvatura de la gráfica. Una cúbica puede coincidir también con la tercera derivada, y así sucesivamente. Cada derivada adicional que coincide hace que el polinomio se ciña a la función en un tramo más amplio alrededor del punto. Si se continúa indefinidamente, se obtiene la serie de Taylor.

La fórmula de la serie de Taylor

Exigir que la derivada $n$-ésima del polinomio en $a$ sea igual a $f^{(n)}(a)$ obliga a que el coeficiente de $(x - a)^n$ sea $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. El factorial aparece porque al derivar $(x - a)^n$ un total de $n$ veces se obtiene $n!$. La serie completa es:

Cuando $a = 0$, la serie se llama serie de Maclaurin, y las potencias son simplemente $x^n$. El polinomio formado por los términos hasta $(x - a)^n$ es el polinomio de Taylor de grado $n$, que se escribe $P_n(x)$. Los dos primeros términos por sí solos son la aproximación por la recta tangente, también llamada linealización.

Construcción de la serie de la exponencial

Si se hace $x = 1$ se obtiene una fórmula famosa para la propia constante: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, que alcanza 2.71828 tras una docena de términos porque los factoriales crecen muy deprisa.

Series que conviene conocer

Estas series de Maclaurin aparecen constantemente, y casi todas las demás pueden construirse a partir de ellas mediante sustitución, multiplicación, derivación o integración:

El seno solo contiene potencias impares, en consonancia con que es una función impar, y el coseno solo potencias pares, de acuerdo con su simetría. Al derivar término a término la serie del seno se obtiene la del coseno, tal como la derivada de $\sin x$ debe ser $\cos x$.

Como comprobación, $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, mientras que el valor exacto es $0.0998334$. Dos términos ya dan seis cifras decimales correctas, y por eso las calculadoras pueden evaluar funciones trigonométricas tan deprisa con polinomios cortos.

Desarrollo alrededor de un punto distinto de cero

Elegir $a$ cerca del valor que te interesa hace que la aproximación converja mucho más deprisa. Para estimar $\sqrt{4.1}$, desarrolla $\sqrt{x}$ alrededor de $a = 4$, donde la raíz cuadrada es inmediata.

¿Qué tamaño tiene el error?

El teorema de Taylor da el error de un polinomio de Taylor. Si $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ y $x$, entonces el resto tras el término de grado $n$ cumple:

Para $e^{0.5}$ con $n = 3$, la cuarta derivada es $e^t \le e^{0.5} < 2$ en el intervalo, así que el error es como mucho $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. El error real, $0.0029$, está dentro de esa cota. La cota también es útil a la inversa: indica cuántos términos necesitas para garantizar una precisión dada antes de empezar a calcular.

En las series alternadas, como las del seno y el coseno, hay una estimación aún más sencilla: el error no supera el primer término omitido. Las ideas en las que se basa esa regla se tratan en criterios de convergencia de series.

Dónde converge la serie

Una serie de Taylor no siempre coincide con su función en todas partes. La serie geométrica de $\frac{1}{1 - x}$ solo funciona para $|x| < 1$; en $x = 2$ el miembro izquierdo vale $-1$, mientras que los términos de la serie crecen sin cota. El conjunto de valores de $x$ en los que una serie converge es un intervalo centrado en $a$, y la mitad de su anchura es el radio de convergencia. Normalmente se halla con el criterio del cociente.

Las series de $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$ convergen para todo $x$ real. La serie de $\ln(1 + x)$ converge para $-1 < x \le 1$; en $x = 1$ da el sorprendente resultado $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, aunque converge muy despacio.

Para qué sirven las series de Taylor

• Evaluar funciones: las calculadoras y los programas usan aproximaciones polinómicas muy relacionadas con los polinomios de Taylor.
• Límites: sustituir $\sin x$ por $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ muestra que $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ sin usar la regla de L'Hôpital.
• Integrales sin primitiva elemental: integrar término a término la serie de $e^{-x^2}$ da $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, muy cerca del valor exacto $0.7468$.
• Física: la aproximación para ángulos pequeños $\sin\theta \approx \theta$ que se usa con los péndulos es el primer término de la serie del seno.
• La fórmula de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, que se obtiene comparando las tres series.

La calculadora de series de Taylor desarrolla cualquier función hasta el orden que elijas alrededor de cualquier punto y muestra cada derivada. Aquí es imprescindible saber derivar, así que las reglas de derivación explicadas son un buen complemento.

Receta para cualquier polinomio de Taylor

1. Elige el centro $a$: un punto cercano a donde necesitas los valores, en el que la función y sus derivadas sean fáciles de evaluar.
2. Deriva la función tantas veces como indique el grado que buscas y simplifica cada derivada.
3. Evalúa cada derivada en $a$.
4. Divide el valor $n$-ésimo entre $n!$ para obtener cada coeficiente.
5. Escribe el polinomio con potencias de $(x - a)$, no de $x$, salvo que $a = 0$.
6. Comprueba el primer coeficiente: $P_n(a)$ debe ser igual a $f(a)$, y la pendiente de $P_n$ en $a$ debe ser igual a $f'(a)$.

A menudo es más rápido construir una serie nueva a partir de una conocida que derivar una y otra vez. Por ejemplo, sustituir $x$ por $-x^2$ en la serie de $e^x$ da directamente $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, y multiplicar la serie del seno por $x$ da la serie de $x\sin x$.

Ver las aproximaciones en una gráfica

Representa $\cos x$ junto con sus polinomios de Taylor de grado 2, 4 y 6 y aparecerá un patrón claro. El polinomio de grado 2, una parábola hacia abajo, se ajusta bien a la curva del coseno cerca de cero, pero se separa más allá de una unidad aproximadamente. El de grado 4 se mantiene cerca durante más tiempo, y el de grado 6 sigue la curva a lo largo de casi toda su primera joroba. Todo polinomio acaba disparándose hacia el infinito, porque ningún polinomio puede oscilar indefinidamente, pero al añadir términos ese alejamiento se produce cada vez más lejos, que es justo lo que significa en la práctica que la serie converge.

Esta imagen es la mejor forma de desarrollar la intuición: la aproximación es excelente cerca del centro y empeora con la distancia. La calculadora gráfica puede representar una función junto con varios de sus polinomios de Taylor para que veas cómo convergen.

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