El cálculo estudia el cambio y la acumulación. Estas guías explican los límites, las derivadas, las integrales y las series con ejemplos resueltos y con el razonamiento que hace que cada regla funcione.
Cada idea del cálculo se apoya en la anterior. Los límites definen la derivada, las derivadas dan las reglas de las tasas de variación, las integrales invierten la derivación y miden el área acumulada, y las series aproximan funciones mediante polinomios. Las guías de esta sección siguen ese camino.
Junto a las reglas encontrarás sus fundamentos, ejemplos totalmente resueltos y las comprobaciones que detectan la mayoría de los errores: derivar una primitiva para confirmarla o comparar un polinomio de Taylor con la función en un punto cercano. Las calculadoras de derivadas, integrales, límites y series muestran el mismo desarrollo paso a paso.
El cálculo también premia una notación cuidadosa. Escribir delante de lo que estás derivando, mantener el en todas las integrales indefinidas e indicar el intervalo de cada serie son pequeños hábitos que evitan la mayoría de los puntos perdidos, y los ejemplos resueltos los ponen todos en práctica.
Si estás empezando, lee primero la guía de límites y después las de qué es una derivada y las reglas de derivación, antes de pasar a las integrales y las series.
Cálculo
Un límite describe el valor al que se acerca una función cuando su variable se acerca a un número, tanto si la función llega a alcanzar ese valor como si no. Los límites son la base de las derivadas, las integrales y las series infinitas, así que calcularlos con soltura es la primera destreza real del cálculo.
Cálculo
La derivada de una función mide lo rápido que cambia su valor cuando cambia la variable, en un instante concreto. Gráficamente es la pendiente de la recta tangente; algebraicamente es el límite de las tasas de variación media en intervalos cada vez más pequeños.
Cálculo
Calcular derivadas a partir de la definición por límites es lento. Un pequeño conjunto de reglas, cada una demostrada una sola vez a partir de esa definición, permite derivar casi cualquier fórmula en unas pocas líneas. Esta guía explica cada regla, por qué funciona y cómo combinarlas.
Cálculo
Una integral suma infinitas piezas diminutas para obtener un total: un área, una distancia, un volumen o cualquier magnitud acumulada. El teorema fundamental del cálculo relaciona este proceso de suma con las primitivas, y eso es lo que hace que las integrales se puedan calcular en la práctica.
Cálculo
Una integral indefinida es una familia de funciones, las primitivas, que se escribe con una constante $+ C$. Una integral definida tiene límites de integración y da un único número, un área con signo o un total acumulado. El teorema fundamental del cálculo permite calcular la segunda a partir de la primera.
Cálculo
La derivación implícita halla dy/dx en curvas definidas por una ecuación en x e y, sin despejar antes la y. Se derivan ambos miembros respecto de x, se trata y como función de x para poder aplicar la regla de la cadena y después se despeja dy/dx.
Cálculo
Una serie de Taylor reescribe una función como un polinomio infinito construido a partir de sus derivadas en un único punto. Si se corta la serie tras unos pocos términos se obtiene un polinomio de Taylor, una aproximación fácil de calcular cuyo error se puede acotar.
Cálculo
Una serie infinita converge cuando sus sumas parciales se acercan a un número finito. En lugar de calcular ese número, los criterios de convergencia deciden si existe, y cada uno se adapta a una forma concreta de término general. La verdadera habilidad consiste en saber qué criterio encaja con cada serie.