Derivación implícita, paso a paso

Ecuaciones explícitas e implícitas

Una ecuación explícita da $y$ directamente como una fórmula en $x$, por ejemplo $y = x^2 + 1$. Sin embargo, muchas curvas importantes se describen de forma implícita, mediante una ecuación que relaciona $x$ e $y$. La circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ es un ejemplo conocido. Al despejar $y$ se obtienen dos funciones, $y = \sqrt{25 - x^2}$ para la mitad superior e $y = -\sqrt{25 - x^2}$ para la inferior, y derivar cada una por separado resulta incómodo.

Otras curvas ni siquiera permiten despejar $y$ con álgebra elemental, como $x^3 + y^3 = 6xy$ o $e^y + xy = e$. Aun así, sus gráficas tienen recta tangente en casi todos los puntos, y la derivación implícita es la herramienta que permite hallar sus pendientes. El método se apoya por completo en la regla de la cadena, así que conviene repasar las reglas de derivación explicadas si esa regla no te resulta del todo clara.

El método en cuatro pasos

1. Deriva ambos miembros de la ecuación respecto de $x$.
2. Cada vez que derives una expresión que contenga $y$, multiplica por $\frac{dy}{dx}$, porque $y$ es una función de $x$ y se aplica la regla de la cadena.
3. Reúne en un miembro todos los términos que contengan $\frac{dy}{dx}$ y en el otro todo lo demás.
4. Saca $\frac{dy}{dx}$ factor común y divide para despejarla.

El hecho clave del paso 2 es esta identidad de la regla de la cadena, donde $f$ es cualquier función derivable:

Así, $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ y $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Los productos como $xy$ necesitan además la regla del producto: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Ejemplo: la circunferencia

Observa que el resultado implícito sirve para las dos mitades a la vez: en $(3, -4)$ la pendiente es $+\frac{3}{4}$. La fórmula también muestra dónde las tangentes son horizontales, cuando $x = 0$, en $(0, 5)$ y $(0, -5)$, y dónde son verticales, cuando $y = 0$, en $(5, 0)$ y $(-5, 0)$. El resultado contiene $y$ además de $x$, algo normal en las derivadas implícitas: para obtener un número necesitas un punto de la curva, no solo un valor de $x$.

Ejemplos en los que no se puede despejar la y

Segundas derivadas

Para hallar $\frac{d^2y}{dx^2}$, vuelve a derivar implícitamente la primera derivada y después sustituye en ella la primera derivada. En la circunferencia, parte de $y' = -\frac{x}{y}$ y aplica la regla del cociente:

El último paso usa la ecuación original, $x^2 + y^2 = 25$, para simplificar, un truco que suele ser útil. El resultado es negativo en la mitad superior, donde $y > 0$, así que allí la curva es cóncava hacia abajo, y positivo en la mitad inferior, lo que concuerda con el dibujo de una circunferencia.

Derivadas de funciones inversas

La derivación implícita explica de dónde salen las derivadas de las funciones inversas. Sea $y = \arctan x$. Entonces $\tan y = x$. Al derivar se obtiene $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, así que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

El mismo enfoque con $y = \ln x$, reescrita como $e^y = x$, da $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, de modo que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. En general, la pendiente de una función inversa es el inverso de la pendiente original en el punto correspondiente, como se explica en nuestro artículo sobre funciones inversas.

Tasas relacionadas

Cuando las variables dependen del tiempo, la misma idea funciona derivando respecto de $t$ en lugar de $x$. Cada variable tiene su propia tasa de variación.

Errores frecuentes

• Olvidar el factor $\frac{dy}{dx}$ al derivar un término con $y$.
• Tratar $xy$ como una sola variable en lugar de aplicar la regla del producto.
• Derivar la constante del miembro derecho como si fuera una variable; las constantes dan 0.
• Sustituir números antes de derivar, lo que congela magnitudes que están cambiando.
• Usar un punto que en realidad no pertenece a la curva. Comprueba siempre primero el punto.

La calculadora de derivación implícita realiza todos los pasos, agrupa los términos con la derivada y puede evaluar la pendiente en un punto. Para funciones explícitas, usa la calculadora de derivadas.

Por qué el método es válido

La derivación implícita supone que, cerca del punto que interesa, la curva es realmente la gráfica de alguna función derivable $y(x)$, aunque no podamos escribirla. Al sustituirla en la ecuación, esta se convierte en una identidad en $x$, válida para todo $x$ cercano al punto. Dos expresiones iguales para todo $x$ deben tener derivadas iguales, y por eso podemos derivar ambos miembros.

La suposición solo falla en puntos especiales, como aquellos en los que la tangente es vertical o la curva se corta a sí misma. El folium de Descartes se corta a sí mismo en el origen, y allí la fórmula de la derivada da $\frac{0}{0}$. En esos puntos la curva no es localmente la gráfica de una única función, así que no tiene una única pendiente. El teorema de la función implícita, que se estudia en el cálculo de varias variables, establece exactamente cuándo la suposición es segura.

Un atajo con derivadas parciales

Si la curva se escribe como $F(x, y) = 0$, existe una fórmula compacta para la pendiente que se deduce del mismo razonamiento:

Aquí $F_x$ y $F_y$ son derivadas parciales, que se hallan derivando respecto de una variable y tratando la otra como constante. En la circunferencia, $F = x^2 + y^2 - 25$ da $F_x = 2x$ y $F_y = 2y$, así que la pendiente es $-\frac{x}{y}$, como antes. La calculadora de derivadas parciales calcula $F_x$ y $F_y$ por ti.

Ejercicios con solución

1. $x^2 - y^2 = 9$. Solución: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, pendiente en $(3, 4)$. Solución: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, que allí vale $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Solución: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, que siempre es positiva, así que la curva siempre crece.
4. $\cos y = x$. Solución: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, que conduce a la derivada del arcocoseno.

En cada caso, comprueba tu resultado eligiendo un punto de la curva, estimando la pendiente numéricamente a partir de un punto cercano y comparando.

Dónde aparecen las curvas implícitas

Las ecuaciones implícitas son habituales en la práctica. Las cónicas, como las elipses y las hipérbolas, se escriben de forma natural en forma implícita. En economía, una curva de indiferencia relaciona cantidades de dos bienes que dan al consumidor la misma satisfacción, y su pendiente, hallada implícitamente, es la tasa a la que el consumidor está dispuesto a cambiar un bien por el otro. En termodinámica, las ecuaciones de estado relacionan presión, volumen y temperatura, y la derivación implícita indica cómo cambia una magnitud cuando se varía otra. Siempre que dos magnitudes estén ligadas por una regla en lugar de una fórmula, este método da su tasa de variación.

Preguntas frecuentes