Funciones inversas: cómo hallar, representar y comprobar una inversa

Qué hace una función inversa

Una función toma una entrada y produce una salida. Su inversa, que se escribe $f^{-1}$, recorre el proceso al revés: toma una salida de $f$ y devuelve la entrada que la produjo. Si $f(a) = b$, entonces $f^{-1}(b) = a$. Aplicar una y después la otra te devuelve al punto de partida.

Un ejemplo cotidiano es la conversión de temperaturas. La función $F = \frac{9}{5}C + 32$ convierte grados Celsius en Fahrenheit. Su inversa, $C = \frac{5}{9}(F - 32)$, hace la conversión contraria. Si introduces 37 grados Celsius en la primera obtienes 98.6 grados Fahrenheit, y si introduces 98.6 en la segunda recuperas 37.

La notación exige cuidado. El $-1$ de $f^{-1}$ no es un exponente. La función inversa $f^{-1}(x)$ no es lo mismo que el recíproco $\frac{1}{f(x)}$. Para $f(x) = 2x$, la inversa es $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, pero el recíproco es $\frac{1}{2x}$.

¿Cuándo existe la inversa?

Invertir una función solo es posible si cada salida procede de una única entrada. Una función así se llama inyectiva. Si dos entradas distintas dan la misma salida, no hay forma de saber qué entrada devolver, así que no existe función inversa en ese dominio.

La función $f(x) = x^2$ no supera esta prueba en todos los reales, porque $f(3) = f(-3) = 9$. Si le pidieras deshacer el 9, una inversa no sabría si devolver 3 o $-3$. Gráficamente, es la prueba de la recta horizontal: una función es inyectiva exactamente cuando ninguna recta horizontal corta su gráfica más de una vez. La recta $y = 9$ corta la parábola $y = x^2$ dos veces, así que la parábola no la supera.

Las funciones siempre crecientes o siempre decrecientes la superan automáticamente. Las funciones lineales de pendiente no nula, $x^3$, $e^x$ y $\ln x$ son todas inyectivas en sus dominios naturales.

Cómo calcular la inversa algebraicamente

1. Sustituye $f(x)$ por $y$.
2. Intercambia $x$ e $y$ en toda la expresión.
3. Despeja $y$ en la nueva ecuación.
4. Sustituye $y$ por $f^{-1}(x)$ e indica su dominio, que es el recorrido de $f$.

Cuando $y$ aparece más de una vez tras el intercambio, reúne todos los términos con $y$ en un miembro y saca $y$ factor común, exactamente como en el ejemplo 3.

Restringir el dominio

Una función que no es inyectiva puede tener inversa si restringes su dominio a un tramo en el que sí lo sea. Así se definen las raíces cuadradas y las funciones trigonométricas inversas.

Restringir $f(x) = x^2$ a $x \ge 0$ conserva solo la mitad derecha de la parábola, que es inyectiva. Su inversa es $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ para $x \ge 0$. Si eligieras $x \le 0$, obtendrías $-\sqrt{x}$.

Las funciones trigonométricas inversas funcionan igual. El seno no es inyectivo, así que $\arcsin x$ se define como la inversa del seno restringido a $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Por eso $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, y no $\frac{5\pi}{6}$: el resultado debe estar en el intervalo restringido.

Exponenciales y logaritmos

La pareja de inversas más importante del precálculo es $e^x$ y $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ para todo $x$ real, y $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$. En general, $\log_b x$ es la inversa de $b^x$. La guía sobre logaritmos construye todas sus propiedades a partir de este hecho.

Gráficas de las funciones inversas

Como la inversa intercambia entradas y salidas, cada punto $(a, b)$ de la gráfica de $f$ se convierte en el punto $(b, a)$ de la gráfica de $f^{-1}$. Geométricamente, intercambiar las coordenadas es una simetría respecto de la recta $y = x$. Así que la gráfica de una inversa es la imagen especular de la gráfica original respecto de esa diagonal.

Esto ofrece una forma rápida de esbozar una inversa y una comprobación útil: las gráficas de $e^x$ y $\ln x$ son simétricas entre sí, igual que las de $x^3$ y $\sqrt[3]{x}$. Las características también se intercambian. Una asíntota horizontal de $f$ se convierte en una asíntota vertical de $f^{-1}$, que es justo lo que ocurrió en el ejemplo 3. Representar ambas funciones junto con la recta $y = x$ en la calculadora gráfica deja clara la simetría.

Comprobar una inversa

Para demostrar que dos funciones son inversas, compónlas en los dos órdenes y simplifica. Si ambas composiciones son iguales a $x$ en los dominios correspondientes, las funciones son inversas. Para el ejemplo 3:

Una comprobación informal más rápida consiste en elegir una entrada, aplicar $f$, aplicar después tu inversa y ver si recuperas la entrada. No demuestra que la fórmula sea correcta, pero detecta la mayoría de los errores. La composición se explica con más detalle en la guía sobre composición de funciones.

Las inversas en el cálculo

Si $f$ es derivable e inyectiva, la pendiente de la inversa en un punto es el inverso de la pendiente de $f$ en el punto correspondiente. Si $f(a) = b$ y $f'(a) \neq 0$, entonces:

Para $f(x) = x^3 + x$, tenemos $f(1) = 2$ y $f'(x) = 3x^2 + 1$, así que $f'(1) = 4$ y $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Esto funciona aunque hallar una fórmula para $f^{-1}$ sería muy difícil. Es la razón de que la derivada de $\ln x$ sea $\frac{1}{x}$, ya que $\ln$ es la inversa de $e^x$.

Errores frecuentes

• Tratar $f^{-1}(x)$ como si fuera $\frac{1}{f(x)}$.
• Olvidar intercambiar $x$ e $y$, con lo que solo se reordena la función original.
• Hallar una fórmula para una función que no es inyectiva sin restringir su dominio.
• Elegir el signo equivocado de una raíz cuadrada después de restringir el dominio.
• No indicar el dominio de la inversa, que debe ser igual al recorrido de la original.

La calculadora de funciones inversas muestra los pasos de intercambio y despeje y comprueba el resultado mediante la composición.

Inversas a partir de tablas y en aplicaciones

No siempre hace falta una fórmula. Si una tabla recoge una función inyectiva, su inversa se obtiene intercambiando las dos columnas. Supón que una empresa de mensajería cobra según el peso y que su tabla de precios indica que 1 kilogramo cuesta 6 euros, 2 kilogramos cuestan 9 euros y 3 kilogramos cuestan 12 euros. La tabla inversa responde a la pregunta contraria: sabiendo lo que pagó un cliente, ¿cuánto pesaba el paquete? Un pago de 9 euros significa 2 kilogramos. Si dos pesos tuvieran el mismo precio, la pregunta inversa no tendría una única respuesta, que es la condición de inyectividad apareciendo en un contexto práctico.

Muchas fórmulas reales se usan en los dos sentidos. Un simulador de préstamos calcula la cuota mensual a partir del importe prestado, y su inversa te dice cuánto puedes pedir prestado para una cuota que puedas pagar. Una receta escalada según el número de raciones puede invertirse para saber cuántas raciones salen con una cantidad dada de harina. En ciencias, una curva de calibrado convierte una concentración conocida en una lectura del instrumento, y la inversa convierte una lectura medida en una concentración. En todos los casos, la inversa es útil precisamente porque la relación original es inyectiva en el intervalo de valores que interesa.

Ver las inversas de este modo hace que los pasos algebraicos resulten naturales. Intercambiar $x$ e $y$ es simplemente una forma compacta de decir que los papeles de entrada y salida se han intercambiado, y despejar $y$ es responder a la pregunta inversa.

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