Composición de funciones — Calculadora de f(g(x)) paso a paso

Sobre la calculadora de composición de funciones

La composición encadena dos funciones de forma que la salida de una pasa a ser la entrada de la otra. Así se construyen fórmulas complicadas a partir de otras sencillas: $\sqrt{x - 4}$ es una raíz cuadrada aplicada después de restar 4, y $(2x - 3)^2 + 1$ consiste en elevar al cuadrado y sumar uno después de aplicar una función lineal. Reconocer estas capas es imprescindible para la regla de la cadena, para las funciones inversas y para modelizar procesos que ocurren por etapas.

Esta calculadora sustituye una función en otra, desarrolla y simplifica el resultado y calcula el dominio de la función compuesta, incluidas las restricciones heredadas de la función interior. Si indicas un valor, también evalúa allí la composición de dentro hacia fuera, para que veas cómo pasa el número por cada función.

¿Qué es la composición de funciones?

La composición de $f$ con $g$ , que se escribe $(f \circ g)(x)$ , se define como $f(g(x))$ : primero se aplica $g$ y después se aplica $f$ al resultado. La función escrita a la derecha actúa primero, al revés del orden de lectura.

La composición no es conmutativa. Para $f(x) = x^2$ y $g(x) = x + 1$ , $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , mientras que $g(f(x)) = x^2 + 1$ . Una función también se puede componer consigo misma: $f \circ f$ aplica $f$ dos veces.

Cómo usar la calculadora de composición de funciones

Introduce la función exterior f(x) y la segunda función g(x), ambas en términos de $x$ .
Elige la composición: f∘g, g∘f, f∘f o g∘g.
Si quieres, introduce un valor de $x$ para evaluar la función compuesta en ese punto.
Pulsa Componer para ver la sustitución, el resultado simplificado y su dominio.
Compara con el orden inverso para ver cómo cambia el resultado.

Fórmulas

Definición

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Dominio de una composición

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Propiedad asociativa

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Comprobación de inversas

f(f^{-1}(x)) = x

Ejemplo resuelto: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, en x = 2

El ejemplo usa $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$ y construye $f \circ g$ . Cada $x$ de $f$ se sustituye por la expresión completa $2x - 3$ , lo que da $(2x - 3)^2 + 1$ , que al desarrollar queda $4x^2 - 12x + 10$ .

El ejemplo también evalúa en $x = 2$ . Por etapas, $g(2) = 1$ y $f(1) = 2$ ; la fórmula simplificada da $16 - 24 + 10 = 2$ , el mismo valor. Las dos funciones son polinomios, así que el dominio son todos los números reales.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Cómo hemos leído tu problema

Hallar (f ∘ g)(x) = f(g(x)) y calcular su valor.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Solución paso a paso

Escribir las funciones
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) significa f(g(x)): pon g(x) en lugar de cada x en f
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Sustituir
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Desarrollar y reducir términos semejantes
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Dominio: x tiene que ser admisible en g, y g(x) tiene que ser admisible en f
$\text{Dominio de } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Calcular de dentro hacia fuera en x = 2: primero g(2) = 1
$g(2) = 1$
Después f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Fórmulas utilizadas

Composición
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

La composición introduce la salida de g en f. El orden importa: f∘g aplica primero g y suele ser distinta de g∘f. El dominio se calcula antes de simplificar, porque al cancelar factores pueden quedar ocultos valores que la función compuesta no admite.

Comprobación

Comprobado: f(g(x)) y la fórmula final coinciden en los puntos de muestra.
Comprobado: la fórmula simplificada también da 2 en x = 2.

Explicación detallada

Sustituir correctamente

La forma más segura de componer es reescribir la función exterior con paréntesis vacíos en lugar de $x$ , como $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , y colocar después la expresión interior completa dentro de cada paréntesis. Los paréntesis importan: al sustituir la $x$ de $x^2$ por $2x - 3$ se obtiene $(2x - 3)^2$ , no $2x - 3^2$ .

Una vez hecha la sustitución, se desarrolla el resultado y se reducen los términos semejantes. La calculadora muestra primero la sustitución sin simplificar para que puedas compararla con tu propio desarrollo, y después la forma simplificada.

Hallar el dominio

Una entrada pertenece al dominio de $f \circ g$ solo si $g$ la admite y $f$ admite lo que produce $g$ . Para $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x - 4$ , $g$ admite cualquier número, pero $f$ necesita una entrada no negativa, así que $x - 4 \geq 0$ y el dominio es $[4, \infty)$ .

Las restricciones de la función interior se mantienen aunque la simplificación las oculte. Con $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$ , la función compuesta se simplifica a $x$ , pero solo se admite $x \geq 0$ , porque primero tiene que estar definida $g$ . Por eso el dominio se calcula a partir de las dos etapas y no solo de la fórmula final.

Dónde se usa la composición

La regla de la cadena del cálculo deriva una composición: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Identificar la función interior y la exterior es el primer paso para aplicarla. La composición describe también los cambios de unidades, las variaciones porcentuales sucesivas y las transformaciones de gráficas: $f(x - 2)$ es $f$ compuesta con un desplazamiento de dos unidades a la derecha.

La descomposición es la destreza inversa: dada $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ , elige una función interior $g(x) = 3x + 7$ y una exterior $f(x) = \sqrt{x}$ de modo que $h = f \circ g$ . Suele haber más de una elección válida, y la mejor es la que facilita el paso siguiente, como derivar o invertir. Practicar con la calculadora en los dos sentidos crea el hábito de ver las funciones como capas.

Errores frecuentes

Aplicar las funciones en el orden equivocado; en $f(g(x))$ actúa primero la función interior $g$ .
Multiplicar las funciones en lugar de componerlas: $f(g(x))$ no es $f(x)\,g(x)$ .
Quitar los paréntesis al sustituir, lo que cambia potencias y signos.
Calcular el dominio solo a partir de la fórmula simplificada y perder restricciones de la función interior.
Suponer que $f \circ g = g \circ f$ ; comprueba los dos órdenes.

Consejos

Evalúa por etapas en un número sencillo para comprobar una función compuesta simplificada.
Escribe la función exterior con paréntesis vacíos antes de sustituir.
Enumera primero las condiciones de dominio de la función interior y después las de la exterior.
Usa la calculadora de función inversa y luego compón para confirmar que $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Identifica la función interior y la exterior antes de derivar con la regla de la cadena.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa f(g(x))?

Significa aplicar primero g a x y después aplicar f al resultado. La función compuesta se escribe f∘g, y la función de la derecha siempre actúa primero.

¿Es f∘g lo mismo que g∘f?

Normalmente no. Para f(x) = x² y g(x) = x + 1, f(g(x)) = (x + 1)², pero g(f(x)) = x² + 1. La calculadora te permite calcular los dos órdenes.

¿Cómo se halla el dominio de una función compuesta?

Toma las entradas que admite la función interior y quédate solo con aquellas cuyas salidas admite la función exterior. Las restricciones de la función interior se mantienen aunque la fórmula simplificada las oculte.

¿Puedo componer una función consigo misma?

Sí. Elige f∘f o g∘g. Para f(x) = 2x + 1, f(f(x)) = 4x + 3, así que f(f(3)) = 15.

¿Qué relación tiene la composición con la regla de la cadena?

La regla de la cadena deriva una composición: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x)) por g′(x). Identificar la función interior y la exterior es el primer paso.

¿La calculadora evalúa la función compuesta en un punto?

Sí. Introduce un valor de x y la calculadora evalúa de dentro hacia fuera: primero la función interior en ese valor y después la exterior en el resultado. Al sustituir el mismo valor en la fórmula simplificada se debe obtener el mismo número.

¿Cómo compruebo que dos funciones son inversas?

Compónlas en los dos órdenes. Si f(g(x)) y g(f(x)) se simplifican ambas a x en los dominios correspondientes, las funciones son inversas una de la otra.

Prueba la calculadora de composición de funciones

Introduce f y g y obtén la función compuesta simplificada, su dominio y su valor en un punto.

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