Calculadora de dominio y recorrido

Sobre la calculadora de dominio y recorrido

Antes de representar una función, invertirla o resolver una ecuación en la que aparece, necesitas saber qué entradas admite y qué salidas puede producir. Esos dos conjuntos son el dominio y el recorrido, también llamado rango o imagen. Hallar el dominio consiste sobre todo en detectar operaciones prohibidas; hallar el recorrido es más difícil, porque pregunta qué alturas alcanza realmente la gráfica.

Esta calculadora halla ambos para polinomios, funciones racionales, raíces, logaritmos, exponenciales, valores absolutos y funciones trigonométricas básicas. Enumera cada restricción, la resuelve y después estudia la función en cada tramo de su dominio para construir el recorrido. Los resultados se dan en notación de intervalos con extremos exactos siempre que es posible.

¿Qué son el dominio y el recorrido?

El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas $x$ para las que la fórmula da un número real. El recorrido es el conjunto de todas las salidas $f(x)$ que se obtienen cuando $x$ recorre el dominio. En una gráfica, el dominio es la sombra que proyecta la curva sobre el eje $x$ , y el recorrido, su sombra sobre el eje $y$ .

Tres operaciones restringen las fórmulas con valores reales: la división, que prohíbe un denominador nulo; las raíces de índice par, que necesitan un radicando no negativo; y los logaritmos, que necesitan un argumento positivo. Una función construida sin ellas, como cualquier polinomio, tiene todos los números reales en su dominio.

Cómo usar la calculadora de dominio y recorrido

Escribe la función en términos de $x$ , por ejemplo (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) o log(x + 2).
Pulsa Calcular el dominio y el recorrido.
Lee la lista de restricciones y cómo se resuelve cada una.
Sigue los pasos del recorrido, que estudian la función en cada intervalo del dominio.
Copia el dominio y el recorrido en notación de intervalos.

Fórmulas

Denominador

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Raíz de índice par

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logaritmo

\ln u(x):\; u(x) > 0

Vértice de una parábola

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Ejemplo resuelto: (x + 1)/(x − 2)

El ejemplo analiza $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . La única restricción es que el denominador no puede ser cero, así que $x = 2$ se quita del dominio.

Para el recorrido, el motor estudia por separado cada lado del hueco. En los dos tramos, la función se acerca a la asíntota horizontal $y = 1$ sin llegar nunca a valer eso, así que 1 es el único valor que falta en el recorrido.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Cómo hemos leído tu problema

Hallar todos los valores reales de x para los que f(x) = (x + 1) / (x - 2) está definida (dominio) y todos los valores que toma (recorrido).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Solución paso a paso

Escribir la función
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Enumerar las restricciones
el denominador (x - 2) no puede valer 0.
Resolver (x - 2) ≠ 0
La expresión solo puede cambiar de signo en 2. Probando un valor en cada intervalo se obtiene el conjunto solución (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Recorrido en (-∞, 2)
cuando x → -∞, f → 1; cuando x → 2⁻, f → -∞. No hay extremos relativos dentro de este intervalo, así que f es monótona o constante en él. La función es continua en este intervalo, así que toma todos los valores entre el menor (-∞, no alcanzado) y el mayor (1, no alcanzado).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Recorrido en (2, ∞)
cuando x → 2⁺, f → ∞; cuando x → ∞, f → 1. No hay extremos relativos dentro de este intervalo, así que f es monótona o constante en él. La función es continua en este intervalo, así que toma todos los valores entre el menor (1, no alcanzado) y el mayor (∞, no alcanzado).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Unir los resultados
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Fórmulas utilizadas

Restricciones
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

El dominio se obtiene resolviendo cada restricción de la fórmula e intersecando los conjuntos solución. El recorrido se deduce de la continuidad: en cada intervalo del dominio, la función toma todos los valores comprendidos entre sus valores extremos y los límites en los extremos del intervalo.

Comprobación

Dominio comprobado en unos 4,000 puntos de muestra: f es real y finita exactamente donde indica el dominio ✓
Todos los valores muestreados de f están dentro del recorrido calculado ✓

Explicación detallada

Hallar el dominio

Empieza con todos los números reales y quita lo que esté prohibido. Exige que cada denominador sea distinto de cero, que cada expresión bajo una raíz cuadrada sea mayor o igual que cero y que cada argumento de un logaritmo sea mayor que cero, y después interseca los resultados. Para $\sqrt{4 - x^2}$ , la condición $4 - x^2 \geq 0$ da $[-2, 2]$ . Para $\frac{1}{x^2 - 4}$ se quitan dos puntos, así que el dominio se divide en tres intervalos.

No simplifiques primero. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ se reduce a $x + 1$ , pero $x = 1$ sigue excluido de la función original, y la calculadora da el dominio con ese hueco.

Hallar el recorrido

El recorrido depende de la forma de la gráfica. Una parábola alcanza su valor extremo en el vértice: para $x^2 - 4x + 1$ , el vértice está en $x = 2$ con valor $-3$ , así que el recorrido es $[-3, \infty)$ . Una raíz cuadrada empieza en cero y crece, así que $\sqrt{x - 3}$ tiene recorrido $[0, \infty)$ . Un logaritmo toma todos los valores reales, y $e^x$ toma todos los valores positivos.

Con las funciones racionales, la calculadora trabaja tramo a tramo: halla dónde la función crece o decrece y a qué valor se acerca en los extremos de cada intervalo. Así determina que $\frac{1}{x^2}$ tiene recorrido $(0, \infty)$ y que $\frac{x}{x^2 + 1}$ se mantiene entre $-\frac12$ y $\frac12$ . Cuando el recorrido no se puede determinar de forma fiable, como ocurre con $\tan x$ , la calculadora indica que no se ha calculado en lugar de adivinarlo.

Leer la notación de intervalos

Un corchete incluye el extremo y un paréntesis lo excluye; el infinito siempre lleva paréntesis. El símbolo $\cup$ une tramos separados, así que $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ significa todos los números reales excepto el 2. Escribir los resultados así facilita compararlos con una gráfica.

Errores frecuentes

Simplificar una función racional antes de hallar su dominio y perder un hueco.
Usar $> 0$ con una raíz cuadrada (el cero está permitido) o $\geq 0$ con un logaritmo (el cero no lo está).
Suponer que el recorrido son todos los números reales porque el dominio lo es.
Olvidar que una asíntota horizontal puede excluir un valor del recorrido.
Poner un corchete junto al infinito.

Consejos

Anota todos los denominadores, radicandos y argumentos de logaritmos antes de resolver nada.
Dibuja la función con la calculadora gráfica para confirmar visualmente el recorrido.
En una función cuadrática, halla el vértice; el recorrido empieza o termina en su valor de $y$ .
Recuerda que el recorrido de $f$ pasa a ser el dominio de su inversa.
Comprueba un extremo sustituyéndolo en la función.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se halla el dominio de una función?

Empieza con todos los números reales y quita los valores que producen un denominador cero, un número negativo bajo una raíz de índice par o un argumento de logaritmo no positivo. Lo que queda es el dominio.

¿Cómo se halla el recorrido de una función?

Determina qué valores de salida alcanza realmente la función usando su vértice, sus asíntotas, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y su comportamiento en los extremos de cada tramo del dominio.

¿Cuál es el dominio de un polinomio?

Todos los números reales, que se escribe (−∞, ∞), porque los polinomios no tienen divisiones entre x, raíces ni logaritmos.

¿Por qué falta el 1 en el recorrido de (x + 1)/(x − 2)?

La gráfica tiene una asíntota horizontal en y = 1. Al resolver (x + 1)/(x − 2) = 1 se llega a 1 = −2, que es imposible, así que la función nunca da 1 como salida.

¿Qué significan los corchetes y paréntesis en la notación de intervalos?

Un corchete indica que el extremo está incluido y un paréntesis, que está excluido. El infinito nunca está incluido, así que siempre lleva paréntesis.

¿La calculadora admite funciones trigonométricas?

Sí, en los casos básicos. Determina que sin x tiene recorrido [−1, 1] y que tan x excluye π/2 más los múltiplos de π, e indica cuándo no se ha calculado un recorrido.

¿Qué significa log en la calculadora?

log(x) es el logaritmo neperiano, así que log(x + 2) está definido para x > −2 y toma todos los valores reales.

Prueba la calculadora de dominio y recorrido

Escribe una función y obtén su dominio y su recorrido en notación de intervalos, paso a paso.

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