Cómo hallar el dominio y el recorrido de una función

Definiciones y notación

Una función toma cada entrada de un conjunto llamado dominio y le asigna exactamente una salida. El conjunto de todas las salidas que aparecen realmente es el recorrido, también llamado imagen o rango. Para $f(x) = x^2$, cualquier número real puede elevarse al cuadrado, así que el dominio son todos los números reales, pero los cuadrados nunca son negativos, así que el recorrido es $[0, \infty)$.

El dominio y el recorrido suelen escribirse con notación de intervalos. Un corchete incluye el extremo y un paréntesis lo excluye; el infinito lleva siempre paréntesis. Los tramos separados se unen con el símbolo de unión $\cup$, de modo que todos los números reales salvo el 3 se escriben $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$. La notación de conjuntos, como $\{x \mid x \neq 3\}$, dice lo mismo con palabras.

Si una función viene dada por una fórmula y no se dice nada más, su dominio es el dominio natural o implícito: el mayor conjunto de números reales para el que la fórmula tiene sentido. Un problema también puede restringir el dominio a propósito, como en un problema de enunciado en el que una longitud no puede ser negativa.

Ayuda pensar en una función como una máquina. El dominio es la lista de entradas que la máquina acepta sin atascarse, y el recorrido es la lista de todo lo que puede salir de ella. Dos funciones con la misma fórmula pero distinto dominio son, en sentido estricto, funciones distintas; por eso el dominio forma parte de la definición y no es un detalle secundario.

Hallar el dominio: las tres restricciones

En las funciones que aparecen en álgebra y precálculo, solo hay tres cosas que pueden fallar con una entrada real. Revisa cada una y excluye los valores que la provocan.

1. División entre cero: un denominador no puede valer cero.
2. Raíces de índice par de números negativos: la expresión bajo una raíz cuadrada, cuarta, etc., debe ser mayor o igual que cero. Las raíces de índice impar, como las cúbicas, admiten cualquier número real.
3. Logaritmos de números no positivos: el argumento de un logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero.

Los polinomios como $3x^4 - x + 7$ no presentan ninguna de estas situaciones, así que su dominio son todos los números reales, $(-\infty, \infty)$. Lo mismo ocurre con $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $|x|$ y las raíces cúbicas.

Ejemplos de dominio

El ejemplo 3 utilizó la regla para dividir una desigualdad entre un número negativo. La guía sobre cómo resolver inecuaciones la explica, junto con las tablas de signos para condiciones como $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$.

Cuando una función combina varias de estas situaciones, escribe cada condición por separado, resuelve cada una y luego interseca los resultados. La mayoría de los errores se deben a olvidar una condición, no a resolverlas.

Hallar el recorrido algebraicamente

El recorrido suele ser más difícil, porque pregunta qué salidas son posibles y no qué entradas están permitidas. Tres técnicas cubren la mayoría de los casos.

Primera: usa los recorridos conocidos de las funciones básicas. Las raíces cuadradas y los valores absolutos nunca son negativos, $e^x$ es siempre positiva, y $\sin x$ y $\cos x$ se mantienen entre $-1$ y $1$. Las transformaciones desplazan o estiran estos recorridos. Para $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$, la raíz da $[0, \infty)$, multiplicar por dos lo deja en $[0, \infty)$ y sumar 1 da $[1, \infty)$.

Segunda: en las funciones cuadráticas, completa el cuadrado para hallar el vértice. Como un cuadrado nunca es negativo, la altura del vértice es el mínimo o el máximo.

Tercera: despeja $x$ en $y = f(x)$ y averigua qué valores de $y$ dan un $x$ válido dentro del dominio.

El mismo método da el recorrido de $\frac{1}{x^2 + 1}$. El denominador es como mínimo 1, así que la salida es como máximo 1; además, siempre es positiva, pero se acerca a 0 tanto como se quiera. El recorrido es $(0, 1]$.

Leer el dominio y el recorrido en una gráfica

En una gráfica, el dominio es la sombra que proyecta la curva sobre el eje x, y el recorrido es su sombra sobre el eje y. Recorre la gráfica de izquierda a derecha para hallar el dominio y de abajo arriba para hallar el recorrido. Los puntos rellenos señalan extremos incluidos, los puntos huecos señalan puntos excluidos y las flechas indican que la gráfica continúa indefinidamente.

Las asíntotas verticales señalan valores que faltan en el dominio, y las horizontales suelen señalar valores que faltan en el recorrido, como en el ejemplo 6. Pero cuidado: una gráfica puede cortar una asíntota horizontal, así que la asíntota por sí sola no demuestra que un valor esté excluido. La calculadora gráfica es una buena forma de ver estas características antes de confirmarlas algebraicamente.

Funciones definidas a trozos y contextos reales

En una función definida a trozos, el dominio es la unión de los intervalos en los que está definido cada trozo, y el recorrido es la unión de las salidas de cada trozo. Supón que $f(x) = x + 2$ para $x < 0$ y $f(x) = 3$ para $x \ge 0$. El dominio son todos los números reales. El primer trozo produce todos los valores menores que 2, y el segundo produce solo el 3, así que el recorrido es $(-\infty, 2) \cup \{3\}$.

En las aplicaciones, el contexto restringe aún más el dominio. El área de un cuadrado, $A = s^2$, admite como fórmula cualquier $s$ real, pero la longitud de un lado debe ser positiva, así que el dominio práctico es $s > 0$ y el recorrido es $A > 0$. La altura de una pelota lanzada solo tiene sentido desde el lanzamiento hasta que cae al suelo, así que su dominio es un intervalo de tiempo cerrado, aunque la fórmula cuadrática de la altura esté definida en todas partes.

El dominio y el recorrido en temas posteriores

Estas ideas aparecen una y otra vez. Una función tiene inversa en un dominio en el que es inyectiva, y la inversa intercambia dominio y recorrido, como se explica en funciones inversas. La composición $f(g(x))$ exige que cada salida de $g$ pertenezca al dominio de $f$; consulta composición de funciones. Los logaritmos y las exponenciales, tratados en logaritmos, son una pareja clásica con dominios y recorridos intercambiados.

Errores frecuentes

• Simplificar antes de hallar el dominio. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ se simplifica a $x + 3$, pero $x = 3$ sigue excluido de la función original.
• Usar $>$ en lugar de $\ge$ con las raíces cuadradas, lo que elimina por error el extremo en el que la raíz vale cero.
• Usar $\ge$ en lugar de $>$ con los logaritmos, lo que incluye por error un argumento nulo.
• Suponer que el recorrido son todos los números reales porque el dominio lo es.
• Poner un corchete junto al infinito.

Para comprobar tus respuestas, prueba la calculadora de dominio y recorrido, que enumera cada restricción encontrada y los intervalos resultantes.

Preguntas frecuentes