Cómo resolver inecuaciones y expresar la solución como intervalo

Los símbolos de desigualdad y el aspecto de la solución

Una inecuación compara dos expresiones con uno de estos cuatro símbolos: $<$ (menor que), $>$ (mayor que), $\le$ (menor o igual que) y $\ge$ (mayor o igual que). Su solución suele ser un conjunto infinito de números, así que se expresa como una desigualdad, una representación en la recta numérica o un intervalo.

• $x < 5$ es el intervalo $(-\infty, 5)$; el paréntesis indica que 5 no está incluido, y en la recta numérica se marca con un punto vacío.
• $x \le 3$ es $(-\infty, 3]$; el corchete indica que 3 está incluido, y se marca con un punto relleno.
• $-2 \le x < 4$ es $[-2, 4)$.
• El infinito siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda incluir.

La única regla distinta de las ecuaciones

Puedes sumar o restar cualquier número en los dos miembros, y multiplicar o dividir los dos miembros por un número positivo, exactamente igual que en las ecuaciones. Pero al multiplicar o dividir los dos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Para ver por qué, parte de la afirmación verdadera $-2 < 3$ y multiplica los dos miembros por $-1$. Obtienes $2$ y $-3$, y $2 > -3$. Multiplicar por un número negativo refleja la recta numérica, lo que cambia cuál de los dos lados es mayor. Lo mismo ocurre si intercambias los dos miembros de una desigualdad: $5 > x$ significa lo mismo que $x < 5$.

Inecuaciones lineales

Probar un valor a cada lado del extremo lleva diez segundos y detecta siempre un cambio de signo olvidado.

Inecuaciones compuestas: «y» y «o»

Una doble desigualdad como $-3 \le 2x + 1 < 9$ significa que se cumplen las dos condiciones. Se resuelve aplicando la misma operación a las tres partes a la vez.

La solución es $[-2, 4)$, la parte común de las dos condiciones. Una condición con «o», como $x < -1$ o $x \ge 3$, es la unión de dos trozos y se escribe $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Inecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto $|A|$ es la distancia de $A$ al cero. Una distancia menor que $k$ significa estar cerca del cero, lo que da un único intervalo; una distancia mayor que $k$ significa estar lejos, lo que da dos trozos. Para $k > 0$:

Si $k$ es negativo, $|A| < k$ no tiene solución y $|A| > k$ se cumple para todo número real, ya que un valor absoluto nunca es negativo.

Inecuaciones de segundo grado con tabla de signos

No intentes extraer raíces cuadradas en una desigualdad. En su lugar, pasa todo a un miembro, busca dónde la expresión vale cero y estudia el signo entre esos puntos.

Gráficamente, $y = x^2 - x - 6$ es una parábola abierta hacia arriba que queda por encima del eje x fuera de sus raíces, lo que coincide con la tabla de signos. La calculadora de ecuaciones de segundo grado encuentra las raíces si no son fáciles de factorizar.

Inecuaciones racionales

En una inecuación con la incógnita en un denominador, nunca multipliques los dos miembros por ese denominador: no sabes si es positivo o negativo. Usa en su lugar una tabla de signos con los ceros del numerador y del denominador.

Inecuaciones con dos incógnitas

Una inecuación como $y > 2x + 1$ describe una región del plano. Dibuja la recta frontera $y = 2x + 1$, discontinua si la desigualdad es estricta y continua si es $\le$ o $\ge$, y sombrea el semiplano que la cumple. Lo más rápido es probar el origen: $0 > 1$ es falso, así que sombrea el lado que no contiene $(0, 0)$. La calculadora gráfica sombrea directamente inecuaciones como esta.

Errores frecuentes

• Olvidar invertir el signo después de multiplicar o dividir por un número negativo.
• Multiplicar por una expresión con incógnita cuyo signo se desconoce.
• Escribir $|x - 4| < 3$ solo como $x - 4 < 3$, con lo que se pierde la cota inferior.
• Poner corchete junto al infinito, o el símbolo equivocado en un extremo.
• Incluir un valor que anula un denominador.

La calculadora de inecuaciones muestra cada paso y la notación de intervalos. Para los pasos de resolución de ecuaciones que se usan en todo momento, consulta cómo resolver ecuaciones lineales.

Un problema de enunciado con una inecuación

Las inecuaciones aparecen siempre que una situación tiene un límite, un mínimo o un presupuesto. Expresiones como «al menos», «no más de», «como máximo» y «supera» indican qué símbolo usar: «al menos» significa $\ge$, «como máximo» y «no más de» significan $\le$, y «supera» o «más de» significan $>$.

El contexto añadió una restricción que el álgebra por sí sola no daba. Es habitual que los problemas reales necesiten $t \ge 0$ o la condición de número entero, así que pregúntate siempre qué valores tienen sentido antes de escribir el intervalo final.

Cómo comprobar una solución en forma de intervalo

La solución de una inecuación tiene tres partes en las que puede haber errores: los valores frontera, si cada extremo está incluido y qué lado del extremo se conserva. Compruébalas en ese orden. Sustituye cada extremo en la inecuación original para ver si da la igualdad, lo que te dice si ese extremo pertenece a la solución. Después prueba un valor dentro de cada intervalo de tu solución y otro fuera.

En el ejemplo racional, $x = 1$ da $\frac{0}{3} = 0$, y $0 \le 0$ es verdadero, así que 1 está incluido. En $x = -2$ la expresión no está definida, así que $-2$ se excluye aunque la desigualdad admita la igualdad. Estas dos comprobaciones confirman los símbolos de $(-2, 1]$.

Preguntas frecuentes