Cómo factorizar polinomios: una lista de comprobación paso a paso

Por qué importa factorizar

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios más sencillos. Desarrollar $(x + 3)(x + 4)$ da $x^2 + 7x + 12$; factorizar es hacer el camino inverso. La forma factorizada suele ser mucho más útil: muestra al instante las raíces de una ecuación, simplifica fracciones algebraicas al cancelar factores comunes y revela dónde corta una gráfica el eje x.

Toda factorización se puede comprobar multiplicando de nuevo los factores. Si el desarrollo no reproduce exactamente el polinomio original, algo está mal, así que conviértelo en un hábito.

La lista de pasos para factorizar

Cada profesor y cada libro ordenan las técnicas de forma algo distinta, pero la siguiente lista sirve para casi cualquier polinomio de un primer curso de álgebra. Aplícala en orden y repítela con cada factor hasta que ya no se pueda factorizar nada más.

1. Saca el factor común de todos los términos (el mayor posible).
2. Cuenta los términos. Con dos términos, busca una diferencia de cuadrados o una suma o diferencia de cubos.
3. Con tres términos, busca un trinomio cuadrado perfecto y, si no lo es, usa la búsqueda de producto y suma o el método AC.
4. Con cuatro términos, prueba la agrupación.
5. Con grado tres o más y sin patrón evidente, usa el teorema de las raíces racionales y la división de polinomios.
6. Revisa de nuevo cada factor y luego multiplica para verificar.

Paso 1: el máximo factor común

Empieza siempre por aquí. Busca el mayor número que divide a todos los coeficientes y la menor potencia de cada variable que aparece en todos los términos.

Si el coeficiente principal es negativo, saca un factor común negativo. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ es mucho más cómodo que trabajar con un término $x^2$ negativo.

Trinomios con coeficiente principal 1

Para $x^2 + bx + c$, busca dos números $m$ y $n$ con $mn = c$ y $m + n = b$. Entonces $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 y 4 dan 12 al multiplicarlos y 7 al sumarlos, así que los factores son $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ y 3 dan $-15$ al multiplicarlos y $-2$ al sumarlos, así que los factores son $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ y $-5$, lo que da $(x - 4)(x - 5)$.

Los signos ofrecen un atajo. Si $c$ es positivo, los dos números tienen el signo de $b$. Si $c$ es negativo, los números tienen signos opuestos y el de mayor valor absoluto lleva el signo de $b$.

Trinomios con cualquier coeficiente principal: el método AC

Cuando $a \neq 1$, multiplica $a$ por $c$, busca dos números de producto $ac$ y suma $b$, úsalos para desdoblar el término central y después factoriza por agrupación.

Un trinomio con coeficientes enteros se factoriza en los enteros exactamente cuando $b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto. Para $3x^2 - 10x + 8$ el discriminante es $100 - 96 = 4$, un cuadrado perfecto, así que la búsqueda tiene que dar resultado. Si el discriminante no es un cuadrado perfecto, deja de buscar y usa en su lugar la fórmula general.

Productos notables que conviene reconocer

Hay tres patrones que aparecen tan a menudo que merece la pena reconocerlos a simple vista:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: se aplica el patrón dos veces.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, porque $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ y $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ y $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Una suma de dos cuadrados como $x^2 + 4$ no se factoriza en los números reales. Su discriminante es $-16$, que es negativo.

Cuatro términos: factorización por agrupación

Divide el polinomio en dos parejas, saca el factor común de cada una y busca un paréntesis común.

Si los paréntesis no coinciden, prueba a reordenar los términos en otras parejas antes de darte por vencido.

Grados superiores: el teorema de las raíces racionales

En un polinomio con coeficientes enteros, toda raíz racional $\frac{p}{q}$ irreducible cumple que $p$ divide al término independiente y $q$ divide al coeficiente principal. Prueba candidatos hasta que uno dé cero y luego divide por el factor correspondiente.

La calculadora de polinomios hace la división paso a paso si quieres comparar.

Errores frecuentes al factorizar

• Olvidar el factor común, lo que deja un trinomio más difícil y un resultado incompleto.
• Parar demasiado pronto: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ no está terminado, porque $x^2 - 4$ se vuelve a factorizar.
• Tratar $a^2 + b^2$ como si fuera una diferencia de cuadrados.
• Errores de signo al agrupar: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, no $-4(x - 3)$.
• No comprobar desarrollando. Multiplicar lleva unos segundos y detecta todos los errores anteriores.

Prueba tus propios polinomios en la calculadora de factorización, que indica qué método ha usado en cada paso, y aprovecha las formas factorizadas para simplificar fracciones algebraicas.

Cómo saber si un polinomio no se puede factorizar

No todos los polinomios se factorizan en los enteros, y darse cuenta pronto ahorra mucho tiempo. Para un polinomio de segundo grado $ax^2 + bx + c$ con coeficientes enteros, calcula el discriminante $b^2 - 4ac$. Si es un cuadrado perfecto, se factoriza en factores lineales con coeficientes racionales. Si es positivo pero no es un cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y se dice que el polinomio es irreducible sobre los racionales; si es negativo, no se factoriza en absoluto en los números reales.

Por ejemplo, $x^2 + 3x + 1$ tiene discriminante $9 - 4 = 5$, que no es un cuadrado perfecto, así que ninguna pareja de enteros da 1 al multiplicarla y 3 al sumarla. Sus raíces, $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$, salen de la fórmula general. La suma de cuadrados $x^2 + 4$ tiene discriminante $-16$ y no se factoriza en los reales, aunque en los números complejos sí se factoriza como $(x - 2i)(x + 2i)$.

Para polinomios de tercer grado o superior, el teorema de las raíces racionales da una lista finita de candidatos. Si ninguno es raíz, el polinomio no tiene ningún factor lineal con coeficientes racionales, aunque un polinomio de cuarto grado todavía podría descomponerse en dos de segundo grado.

Para qué sirve factorizar más adelante

La factorización no es un tema aislado. Resolver ecuaciones polinómicas se basa en la propiedad del producto nulo: si $AB = 0$, entonces $A = 0$ o $B = 0$. Simplificar fracciones algebraicas depende de cancelar factores comunes. Hallar los cortes con el eje x y el signo de la gráfica de un polinomio usa directamente la forma factorizada, y en cálculo los límites de la forma $\frac{0}{0}$ se resuelven a menudo factorizando y simplificando.

Por ejemplo, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no se puede calcular por sustitución, pero al factorizar el numerador como $(x - 2)(x + 2)$ y simplificar queda $x + 2$, así que el límite es 4. La descomposición en fracciones simples para integrar también empieza factorizando por completo el denominador.

Comprueba siempre una factorización desarrollándola. Multiplicar lleva menos tiempo que factorizar y detecta al instante los errores de signo.

Para comprobar una factorización tuya, introdúcela en la calculadora de factorización o desarrolla tu resultado con la calculadora para simplificar.

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