Calculadora de polinomios

Q: ¿Qué operaciones admite la calculadora de polinomios?

Desarrollar, sumar, restar, multiplicar, dividir con cociente y resto, evaluar en un valor de x con el método de Horner y hallar raíces reales.

Q: ¿Cómo se dividen polinomios?

Elige dividir e introduce el dividendo como P y el divisor como Q. La calculadora hace la división larga y muestra el cociente, el resto y el resultado en la forma cociente más resto entre divisor.

Q: ¿Qué es el teorema del resto?

Al dividir un polinomio P entre x menos c, el resto es igual a P(c). Por eso, evaluar el polinomio en c es una forma rápida de hallar el resto o de comprobar si c es una raíz.

Q: ¿La calculadora de polinomios muestra raíces complejas?

No. El modo raíces enumera solo las raíces reales e indica cuándo un polinomio no tiene ninguna. Las raíces racionales son exactas y las irracionales se muestran como aproximaciones decimales.

Q: ¿Qué es el método de Horner?

Una forma de evaluar un polinomio anidando multiplicaciones, por ejemplo escribiendo ax al cubo más bx al cuadrado más cx más d como ((ax + b)x + c)x + d. Necesita menos operaciones y produce menos errores que calcular cada potencia por separado.

Q: ¿Qué es el grado de un polinomio?

La mayor potencia de la variable con coeficiente distinto de cero. Limita el número de raíces reales y de extremos relativos que puede tener el polinomio.

Q: ¿Puedo usar fracciones como coeficientes?

Sí. Las fracciones y los decimales se convierten en fracciones exactas, y todos los resultados se mantienen exactos.

Sobre la calculadora de polinomios

Los polinomios son las funciones más habituales del álgebra: rectas, parábolas, cúbicas y todo lo que se construye con potencias de exponente natural de una variable. Trabajar con ellos supone repetir una y otra vez un puñado de operaciones, como multiplicar dos paréntesis, dividir entre un factor lineal, sustituir un valor o localizar los ceros. Todas son mecánicas, pero es fácil equivocarse cuando el polinomio tiene muchos términos.

Esta calculadora realiza siete operaciones con polinomios de una variable: desarrollar, sumar, restar, multiplicar, dividir, evaluar en un punto y hallar raíces reales. Los coeficientes se guardan como fracciones exactas, así que la división da un cociente y un resto exactos, y las raíces racionales se muestran de forma exacta en lugar de como decimales redondeados.

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio en $x$ es una suma de términos de la forma $a x^n$ , en la que cada coeficiente $a$ es un número y cada exponente $n$ es un número natural. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ es un polinomio; $\frac1x$ y $\sqrt x$ no lo son, porque sus exponentes son negativos o fraccionarios.

El grado es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero, y el coeficiente principal es el coeficiente de ese término. Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces reales y su gráfica tiene como máximo $n - 1$ extremos relativos, datos que ayudan a prever cómo debería ser la respuesta antes de calcularla.

Cómo usar la calculadora de polinomios

Elige una operación: desarrollar, sumar, restar, multiplicar, dividir, evaluar o hallar raíces.
Introduce el primer polinomio P, por ejemplo 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Para sumar, restar, multiplicar y dividir, introduce el segundo polinomio Q, como x - 2.
Para evaluar, introduce el valor de $x$ en la casilla adicional.
Pulsa Calcular y sigue los pasos; la división larga muestra cada división de términos de mayor grado y cada resta.

Fórmulas

Algoritmo de la división

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Teorema del resto

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Teorema del factor

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ es un factor de } P(x)

Método de Horner

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Ejemplo resuelto: Dividir 2x³ − 3x² + 4x − 5 entre x − 2

El ejemplo divide $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ entre $x - 2$ mediante la división larga. En cada etapa, el motor divide el término de mayor grado de lo que queda entre $x$ , multiplica el divisor por ese término y resta.

Tres rondas dan el cociente $2x^2 + x + 6$ y el resto 7, así que el resultado se escribe $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . Tal como predice el teorema del resto, al evaluar el polinomio original en $x = 2$ también se obtiene 7.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Cómo hemos leído tu problema

Dividir P entre Q mediante la división larga de polinomios.

Solución paso a paso

Escribir P en forma ordenada
Desarrollar y reducir términos semejantes: grado 3, coeficiente principal 2, término independiente -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Escribir Q en forma ordenada
grado 1, coeficiente principal 1, término independiente -2
$Q(x) = x - 2$
Dividir los términos de mayor grado: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Multiplicar Q por 2x^2 y restar. Nuevo resto: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Dividir los términos de mayor grado: (x^2) ÷ (x) = x
Multiplicar Q por x y restar. Nuevo resto: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Dividir los términos de mayor grado: (6x) ÷ (x) = 6
Multiplicar Q por 6 y restar. Nuevo resto: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Parar cuando el grado del resto sea menor que el del divisor
$\text{cociente } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{resto } 7$

Fórmulas utilizadas

Algoritmo de la división
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q no divide exactamente a P: el resto es 7.

Comprobación

Comprobación: Q·cociente + resto es igual a P.

Explicación detallada

Multiplicar y desarrollar

Para multiplicar dos polinomios, cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y después se agrupan las potencias iguales. En $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ , los seis productos se reducen a $x^3 + 1$ , una suma de cubos. La calculadora muestra la distribución completa antes de agrupar para que no se pierda ningún producto, que es el origen habitual de los errores con paréntesis largos.

Al sumar y restar solo se combinan los coeficientes de las potencias iguales. En la resta cambia el signo de todos los términos del segundo polinomio, y por eso la calculadora escribe explícitamente el polinomio opuesto antes de combinar.

La división larga y sus usos

La división larga de polinomios funciona exactamente igual que la división de números. Termina cuando el resto tiene menor grado que el divisor. La división sirve para factorizar un polinomio una vez conocida una raíz, para simplificar funciones racionales y para hallar asíntotas oblicuas: el cociente de $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ es $x + 1$ , así que la gráfica se acerca a la recta $y = x + 1$ .

La división entre un factor lineal $x - c$ se puede abreviar con la regla de Ruffini, que solo trabaja con los coeficientes. El teorema del resto dice entonces que el resto es igual a $P(c)$ , una forma rápida de comprobar el resultado.

Hallar las raíces

En el modo raíces, la calculadora prueba primero los candidatos racionales $\frac pq$ , donde $p$ divide al término independiente y $q$ divide al coeficiente principal. Cada raíz encontrada se divide fuera, lo que reduce el grado. Si queda un factor de segundo grado, se resuelve con la fórmula general, y cualquier resto irreducible de grado mayor se resuelve numéricamente, marcando el resultado como aproximado. Para $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , las raíces 1, 2 y 3 son exactas; para $x^3 - 2$ , la única raíz real $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ se muestra como decimal.

Solo se enumeran las raíces reales. Un polinomio como $x^2 + 2x + 5$ tiene discriminante negativo, así que la calculadora indica que no tiene raíces reales.

Errores frecuentes

Omitir una potencia que falta en la división larga; escribe $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ para que las columnas cuadren.
Restar solo el primer término durante la división larga en lugar del producto completo.
Olvidar cambiar todos los signos al restar un polinomio.
Multiplicar los exponentes en lugar de sumarlos al multiplicar términos: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Escribir el resto sin su divisor; $+7$ solo no es lo mismo que $+\frac{7}{x - 2}$ .

Consejos

Ordena ambos polinomios en potencias decrecientes antes de cualquier operación.
Comprueba una división multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto.
Usa el teorema del resto para probar rápidamente una posible raíz: si $P(c) = 0$ , entonces $x - c$ es un factor.
Dibuja la gráfica con la calculadora gráfica para saber cuántas raíces reales esperar.
Usa la calculadora de factorización cuando quieras el polinomio escrito como producto.

Preguntas frecuentes

¿Qué operaciones admite la calculadora de polinomios?