Calculadora de fracciones algebraicas

Sobre la calculadora de fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas, también llamadas expresiones racionales, son fracciones con polinomios en el numerador y en el denominador, como $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Se comportan como las fracciones ordinarias, así que todo lo que sabes sobre simplificar, buscar denominadores comunes y dividir entre una fracción sigue valiendo. La diferencia es que ahora lo que factorizas son polinomios, y debes tener en cuenta los valores de $x$ que anulan algún denominador.

Esta calculadora realiza cinco operaciones con fracciones algebraicas de una variable: simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir. Factoriza en los racionales todos los numeradores y denominadores, construye el mínimo común denominador cuando hace falta, cancela los factores comunes e indica los valores excluidos del resultado final, algo que muchas soluciones olvidan.

¿Qué es una fracción algebraica?

Una fracción algebraica es un cociente $\frac{P(x)}{Q(x)}$ de dos polinomios en el que $Q$ no es el polinomio nulo. No está definida en los puntos donde $Q(x) = 0$ , así que su dominio son todos los números reales salvo las raíces del denominador.

Dos fracciones algebraicas son equivalentes si coinciden en todos los puntos donde ambas están definidas. Simplificar consiste en sustituir una fracción por otra equivalente irreducible, sin ningún factor común entre numerador y denominador. Como al cancelar puede desaparecer un factor del denominador, los valores excluidos de la expresión original deben conservarse de forma explícita.

Cómo usar la calculadora de fracciones algebraicas

Elige simplificar, sumar, restar, multiplicar o dividir.
Introduce la primera fracción en A con los numeradores y denominadores entre paréntesis, por ejemplo (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Para las cuatro operaciones aritméticas, introduce la segunda fracción en B, como 2/(x + 1).
Pulsa Calcular y sigue los pasos de factorización, denominador común y cancelación.
Copia el resultado junto con sus valores excluidos.

Fórmulas

Simplificación

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Suma con denominador común

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Multiplicación

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

División

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Ejemplo resuelto: Simplificar (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

El ejemplo resuelto simplifica $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ hasta hacerla irreducible. El motor reconoce una diferencia de cuadrados en el numerador y un trinomio factorizable en el denominador, de modo que ambos comparten el factor $x + 3$ .

Tras cancelar, el motor enumera los dos valores excluidos, $-3$ y $-2$ . El valor $-3$ ya no anula el denominador simplificado, pero estaba excluido de la expresión original, así que sigue excluido.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\frac{x - 3}{x + 2}

Cómo hemos leído tu problema

Simplificar la fracción algebraica hasta hacerla irreducible.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Solución paso a paso

Escribir como una sola fracción
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Factorizar el numerador y el denominador
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Cancelar el factor común
El factor x + 3 aparece en el numerador y en el denominador. Cancelarlo no cambia el valor allí donde la expresión original está definida.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Indicar los valores excluidos
La expresión original no está definida donde algún denominador (o divisor) vale cero: x ≠ -3, x ≠ -2. Estas restricciones se mantienen aunque se haya cancelado un factor.

Fórmulas utilizadas

Cancelación
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Simplificado al máximo, el resultado es (x - 3)/(x + 2). Valores excluidos: x ≠ -3, x ≠ -2.

Comprobación

La forma simplificada se ha comparado con la original en cuatro puntos de prueba y coincide.

Explicación detallada

Sumar y restar

Para sumar fracciones algebraicas, reescríbelas con un denominador común. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores distintos de los denominadores, cada uno elevado a la mayor potencia con la que aparece. Para $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ , el mínimo común denominador es $(x - 1)(x + 1)$ ; cada numerador se multiplica por el factor que le falta a su denominador, y se obtiene $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

La resta sigue el mismo esquema, pero se resta el segundo numerador completo, así que ponlo entre paréntesis antes de repartir el signo menos. Después de combinar, factoriza el nuevo numerador para ver si algo se cancela con el denominador común.

Multiplicar y dividir

La multiplicación no necesita denominador común. Factoriza primero todo, cancela cualquier factor que aparezca en algún numerador y en algún denominador, y multiplica lo que quede. Cancelar antes de multiplicar mantiene pequeños los polinomios.

Para dividir, multiplica por la inversa de la segunda fracción. Esto añade una restricción nueva: el numerador del divisor no puede ser cero, porque al invertirlo pasa a ser denominador. Al dividir $\frac{x}{x + 2}$ entre $\frac{x - 1}{x + 2}$ se obtiene $\frac{x}{x - 1}$ , con $x \neq -2$ y $x \neq 1$ excluidos.

Por qué importan los valores excluidos

Los valores excluidos no son una formalidad. La gráfica de $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ se parece a la de $\frac{x - 3}{x + 2}$ , pero tiene un hueco en $x = -3$ y una asíntota vertical en $x = -2$ . Al resolver ecuaciones con fracciones algebraicas, una solución candidata igual a un valor excluido es una solución extraña y hay que descartarla.

Errores frecuentes

Cancelar sumandos en lugar de factores, como tachar la $x$ en $\frac{x + 2}{x}$ .
Sumar por separado los numeradores y los denominadores: $\frac1x + \frac1y$ no es $\frac{2}{x + y}$ .
Olvidar repartir el signo menos sobre todo el segundo numerador al restar.
Perder los valores excluidos después de cancelar un factor común.
Invertir la primera fracción en lugar de la segunda al dividir.

Consejos

Factoriza por completo todos los numeradores y denominadores antes de hacer nada más.
Escribe el denominador común factorizado; si lo desarrollas pronto, cuesta más cancelar.
Reúne los valores excluidos de todos los denominadores, incluido el numerador del divisor, antes de cancelar.
Comprueba un resultado sustituyendo un valor como $x = 5$ en la expresión original y en la simplificada.
Usa la calculadora de dominio y recorrido para ver el dominio completo del resultado.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se simplifica una fracción algebraica?

Factoriza por completo el numerador y el denominador, cancela los factores que compartan e indica como valores excluidos los valores de x que anulan el denominador original.

¿Qué es un valor excluido?

Un valor de la variable que anula un denominador, de modo que la expresión no está definida en él. Los valores excluidos de la expresión original siguen excluidos después de simplificar.

¿Cómo se halla el mínimo común denominador?

Factoriza cada denominador y multiplica todos los factores distintos, cada uno con la mayor potencia con la que aparece en alguno de los denominadores.

¿Por qué no puedo cancelar la x en (x + 2)/x?

En el numerador, x es un sumando, no un factor de todo el numerador. Solo se pueden cancelar los factores que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador.

¿Cómo se dividen fracciones algebraicas?

Multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda y después factoriza y cancela. El numerador de la segunda fracción añade nuevos valores excluidos, porque pasa a ser denominador.

¿La calculadora admite más de una variable?

Esta calculadora trabaja con fracciones algebraicas de una sola variable. Para expresiones polinómicas con varias variables, usa la calculadora para simplificar expresiones.

¿Qué diferencia hay entre un hueco y una asíntota?

Un hueco aparece donde un factor se cancela del numerador y del denominador. Una asíntota vertical aparece donde un factor sigue en el denominador después de simplificar.

Prueba la calculadora de fracciones algebraicas

Simplifica, suma, resta, multiplica o divide fracciones algebraicas con los valores excluidos en cada paso.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA