Composición de funciones: cómo hallar y usar f(g(x))

Qué significa componer

Dadas dos funciones $f$ y $g$, la composición $f \circ g$, que se lee f compuesta con g o f de g, es la función que primero aplica $g$ y luego aplica $f$ al resultado:

El orden es lo que más confunde. La función escrita a la derecha, la más cercana a $x$, actúa primero. Piensa en una cadena de montaje: $x$ entra en la máquina $g$, el producto $g(x)$ pasa a la máquina $f$ y sale $f(g(x))$. Para que esto funcione, cada salida de $g$ que utilices debe ser una entrada aceptable para $f$.

La composición no es lo mismo que la multiplicación. El producto $(fg)(x)$ significa $f(x) \cdot g(x)$, es decir, multiplica dos salidas, mientras que $(f \circ g)(x)$ sustituye una función dentro de la otra. El pequeño círculo es lo que las distingue.

Componer dos fórmulas

Para hallar $f(g(x))$, toma la fórmula de $f$ y sustituye cada $x$ por la expresión completa $g(x)$, entre paréntesis. Después simplifica.

Los dos órdenes dan funciones completamente distintas. En general, la composición no es conmutativa: $f \circ g$ y $g \circ f$ suelen ser diferentes, y nunca debes suponer que son iguales. En cambio, sí es asociativa, así que $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, y una cadena de tres funciones puede calcularse de dentro hacia fuera.

Pon siempre paréntesis alrededor de la función interior al sustituir. Sin ellos, $g(2x + 3)$ con $g(x) = x^2$ se convierte fácilmente en $2x + 3^2$, lo cual es incorrecto.

Evaluar composiciones con números y tablas

A menudo solo necesitas un valor concreto. Trabaja de dentro hacia fuera: evalúa primero la función interior y usa ese resultado como entrada de la función exterior. No hace falta hallar la fórmula de la función compuesta.

Supón que una tabla da $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ y $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Entonces $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ y $f(g(3)) = f(2) = -1$. Si la tabla no diera ningún valor de $f$ para el número que produce $g$, esa composición simplemente no estaría definida para esa entrada.

Con las gráficas se procede igual. Para hallar $f(g(3))$ a partir de dos gráficas, lee $g(3)$ en la gráfica de $g$, busca ese valor en el eje x de la gráfica de $f$ y lee la salida.

El dominio de una función compuesta

El dominio de $f \circ g$ contiene exactamente las entradas $x$ que cumplen dos condiciones: $x$ pertenece al dominio de $g$, y $g(x)$ pertenece al dominio de $f$. Simplificar la fórmula compuesta puede ocultar la primera condición, así que halla el dominio a partir de las piezas originales.

Un ejemplo breve muestra por qué importa. Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$, entonces $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, pero solo para $x \ge 0$. La fórmula $x$ por sí sola sugiere que vale cualquier número real, lo cual es falso. La guía sobre dominio y recorrido trata las restricciones concretas que se usan aquí.

Descomponer una función

La descomposición recorre el proceso al revés: dada una función complicada $h$, busca funciones más sencillas tales que $h = f \circ g$. Busca una expresión interior sobre la que actúa una operación exterior.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: interior $g(x) = 3x - 1$, exterior $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: interior $g(x) = x^2 + 4$, exterior $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: interior $g(x) = \sin x$, exterior $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: interior $g(x) = x + 2$, exterior $f(u) = \frac{1}{u^2}$, o bien una cadena de tres pasos $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Las descomposiciones no son únicas, pero la más útil suele tener una función interior sencilla. Llamar $u$ a la parte interior es justo el hábito que necesitarás para la regla de la cadena y para el cambio de variable en las integrales.

La composición en el cálculo y en las funciones inversas

Dos grandes temas dependen de la composición. En primer lugar, la regla de la cadena deriva una función compuesta: la derivada de $f(g(x))$ es $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Para $(3x - 1)^5$ eso da $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. La guía de reglas de derivación lo trata a fondo.

En segundo lugar, dos funciones son inversas exactamente cuando, al componerlas en cualquier orden, se recupera la entrada: $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$ en los dominios adecuados. Para $f(x) = 2x + 3$ y $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$, se obtiene $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. Esta es la forma habitual de verificar una inversa, como se explica en funciones inversas.

Un ejemplo real: descuentos y cupones

Una tienda ofrece un 20 por ciento de descuento y además tienes un cupón de 10 euros. Sea $d(p) = 0.8p$ la aplicación del descuento a un precio $p$ y $c(p) = p - 10$ la aplicación del cupón. El orden importa.

• Primero el cupón y después el descuento: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Primero el descuento y después el cupón: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Para un artículo de 50 euros, el primer orden cuesta 32 euros y el segundo, 30 euros.

Aplicar primero el porcentaje ahorra siempre 2 euros en este caso, porque el cupón no se ve reducido por el porcentaje. Las situaciones como esta, en las que un proceso alimenta a otro, son composiciones, y muestran por qué el orden de $f$ y $g$ no es un simple tecnicismo.

Errores frecuentes

• Aplicar las funciones en el orden equivocado: en $f(g(x))$, $g$ actúa primero.
• Multiplicar $f(x)$ por $g(x)$ en lugar de sustituir.
• Sustituir sin paréntesis, sobre todo dentro de potencias y signos negativos.
• Hallar el dominio solo a partir de la fórmula simplificada y pasar por alto valores excluidos por la función interior.
• Suponer que $f \circ g = g \circ f$.

Puedes comprobar los dos órdenes y sus dominios con la calculadora de composición de funciones, que muestra explícitamente el paso de sustitución.

Por qué vale la pena dominar la composición

Casi todas las funciones que encontrarás después del álgebra se construyen por composición. Una fórmula para la temperatura de una bebida que se enfría, la posición de un péndulo que oscila o el valor de una inversión suele ser una función exterior sencilla, como una exponencial, un seno o una potencia, aplicada a una expresión interior más simple. Saber ver esa estructura te permite prever la forma de una gráfica, averiguar dónde está definida una función y elegir la técnica adecuada para derivadas e integrales.

La composición también explica las transformaciones de gráficas. Desplazar la gráfica de $f$ tres unidades a la derecha produce $f(x - 3)$, que es $f$ compuesta con la función interior $x - 3$. Estirarla verticalmente por un factor de 2 produce $2f(x)$, que es la función exterior $2u$ compuesta con $f$. Visto así, una transformación aplicada dentro de los paréntesis cambia la entrada y actúa en horizontal, mientras que una aplicada fuera cambia la salida y actúa en vertical. Esa sola observación explica por qué las traslaciones horizontales parecen ir en sentido contrario.

Ejercicios con soluciones

Resuélvelos en papel y luego compara. Cada uno usa una idea de las secciones anteriores.

1. Si $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = x - 3$, halla $f(g(x))$. Solución: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Con las mismas funciones, halla $g(f(x))$. Solución: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Si $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = 4 - x$, halla el dominio de $f(g(x))$. Solución: $4 - x \ge 0$, así que $(-\infty, 4]$.
4. Descompón $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Solución: interior $x^2 + 1$, exterior $\ln u$.
5. Si $f(x) = 3x - 2$, halla $f(f(2))$. Solución: $f(2) = 4$ y $f(4) = 10$.

Si tu respuesta al primer ejercicio fue $x^2 - 2$, aplicaste las funciones en el orden equivocado; esa es la solución del segundo. Confundir los dos órdenes es el error más común, y comprobarlo con un número como $x = 0$ lo detecta enseguida: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, mientras que $g(f(0)) = g(1) = -2$.

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