Calculadora de convergencia de series

Sobre la calculadora de convergencia de series

Decidir si una serie infinita converge es una habilidad que depende de elegir el criterio adecuado. En los cursos de cálculo se enseñan al menos siete: el criterio del término general, las series geométricas, las series p, la comparación directa y por paso al límite, el criterio del cociente, el de la raíz, el de la integral y el de Leibniz para series alternadas. Cada uno funciona de maravilla con algunas series y no dice absolutamente nada de otras, y lo difícil es saber a cuál recurrir.

Esta calculadora aplica los criterios en un orden fijo y razonable e informa del primero que da una respuesta definitiva. Reconoce las series geométricas y las suma de forma exacta, comprueba si los términos tienden a cero, trata los signos alternados y, para términos positivos, prueba el criterio del cociente, el de la raíz, la comparación con una serie p, la condensación de Cauchy y el criterio de la integral. Cada límite que necesita lo calcula el motor de límites, que se verifica a sí mismo numéricamente.

Cuando un criterio depende de una propiedad que no se puede demostrar simbólicamente, como que los términos acaben siendo decrecientes, la calculadora la comprueba en muchos índices de muestra y lo indica abiertamente. Si ningún criterio es concluyente, te dice cuáles ha probado en lugar de adivinar. En las series alternadas también distingue la convergencia absoluta de la condicional.

¿Qué significa que una serie converja?

Una serie infinita $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es la suma de infinitos términos. Para darle sentido, se observan las sumas parciales $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ . Si se acercan a un límite finito $S$ a medida que $N$ crece, la serie converge y su suma es $S$ . Si crecen sin cota o siguen oscilando, la serie diverge.

La convergencia es delicada porque depende de lo rápido que disminuyen los términos, no solo de si disminuyen. Los términos de $\sum \frac1n$ tienden a cero y, sin embargo, las sumas parciales superan cualquier número, así que la serie armónica diverge. Los términos de $\sum \frac{1}{n^2}$ disminuyen solo un poco más deprisa, y esa serie converge a $\frac{\pi^2}{6}$ .

En la mayoría de las series se puede decidir la convergencia sin hallar la suma, que además a menudo no tiene una expresión cerrada sencilla. Las series geométricas son la principal excepción: siempre que la razón cumpla $|r| < 1$ , la suma es $\frac{a}{1-r}$ , donde $a$ es el primer término.

Cómo usar la calculadora de convergencia de series

Escribe el término general usando n como índice, por ejemplo 1/n^2, (-1)^(n+1)/n o 2^n/n!.
Se admiten factoriales (n!), potencias, raíces, logaritmos escritos como log para ln y (−1)^n.
Introduce el índice inicial, el primer valor de n en la suma. Por defecto es 1.
Pulsa Estudiar la convergencia para ver qué criterios se han aplicado, los límites calculados y el veredicto.
En las series geométricas, lee la suma exacta en la última línea.

Fórmulas

Serie geométrica

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

Criterio del término general

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ diverge}

Serie p

\sum \frac{1}{n^p} \text{ converge} \iff p > 1

Criterio del cociente

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}

Criterio de la raíz

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}

Criterio de Leibniz para series alternadas

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ converge}

Ejemplo resuelto: Serie p Σ 1/n²

El ejemplo resuelto se calcula en directo para la serie p $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ . Los términos tienden a 0, así que el criterio del término general no es concluyente. A continuación, la calculadora estima lo rápido que disminuyen los términos y los compara con $\frac{1}{n^2}$ ; el límite del cociente es 1, un número positivo y finito.

Por el criterio de comparación por paso al límite, la serie se comporta exactamente igual que la serie p con $p = 2$ , que converge porque $p > 1$ . El veredicto es que la serie converge. Su suma, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ , la halló Euler en 1734, pero la convergencia se puede decidir sin conocerla.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{converge} \approx 1.644934067

Cómo hemos leído tu problema

Determinar si Σ 1 / n² (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

Solución paso a paso

Escribir la serie
Σ a(n) para n = 1, 2, 3, … con a(n) = 1 / n^2. Primeros términos: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
Criterio del término general
lim a(n) = 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
Comparación por paso al límite con una serie p
Términos positivos: los términos disminuyen aproximadamente como 1/n^2 (estimado a partir de a(2N)/a(N)), así que se compara con Σ 1/n^2: lim a(n)·n^2 = 1. El límite es un número positivo finito, así que la serie se comporta exactamente como la serie p Σ 1/n^2, que converge porque p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
Estimar la suma numéricamente
Se calcularon las sumas parciales S_N para varios N y se extrapolaron a N → ∞ (extrapolación de Richardson; con términos alternados se promedian primero). Dos extrapolaciones independientes coinciden en menos de 10⁻¹⁰, dando S ≈ 1.644934067. Cualquier forma cerrada mostrada es una identificación numérica, no una demostración.

Fórmulas utilizadas

Criterio del término general (divergencia)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ diverge}$
Serie p
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ converge} \iff p > 1$

Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación

Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Explicación detallada

Empieza por los criterios rápidos

Hay dos comprobaciones que conviene hacer siempre primero porque son rápidas. Si la serie es geométrica, la razón $r$ lo decide todo: converge cuando $|r| < 1$ y la suma se obtiene de inmediato. En $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ , el primer término es $a = -2$ y $r = -\frac23$ , así que la suma es $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ .

Después, el criterio del término general. Si los términos no se acercan a cero, la serie tiene que diverger, porque estarías sumando cantidades que mantienen un tamaño fijo para siempre. $\sum \frac{n}{n+1}$ diverge por este motivo, ya que sus términos se acercan a 1. Cuidado con el recíproco: que los términos tiendan a cero no garantiza la convergencia, como demuestra la serie armónica.

Criterios del cociente y de la raíz

El criterio del cociente compara cada término con el anterior. Si el cociente $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ tiende a un límite $L < 1$ , los términos acaban disminuyendo al menos tan deprisa como una serie geométrica convergente, así que la serie converge. Si $L > 1$ , los términos crecen y la serie diverge. Si $L = 1$ , el criterio no es concluyente.

Es la opción natural con factoriales y exponenciales. En $\sum \frac{2^n}{n!}$ , el cociente se simplifica a $\frac{2}{n+1}$ , que tiende a 0, así que la serie converge. El criterio de la raíz, basado en $\sqrt[n]{|a_n|}$ , es parecido y funciona mejor cuando todo el término está elevado a la potencia n-ésima. Ambos criterios dan siempre $L = 1$ en las series p y en las funciones racionales de $n$ , así que ahí hacen falta otras herramientas.

Comparación con series p

Para términos que se comportan como una potencia de $n$ , compara con $\sum \frac{1}{n^p}$ , que converge exactamente cuando $p > 1$ . El criterio de comparación por paso al límite dice que, si $\frac{a_n}{b_n}$ tiende a un número positivo y finito, las dos series tienen el mismo carácter. La calculadora estima el $p$ adecuado a partir de cómo cambian los términos cuando $n$ se duplica y después calcula ese límite de forma exacta.

Así, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge por comparación con $\sum \frac1n$ , mientras que $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ converge absolutamente, porque $|\sin n| \le 1$ implica que sus términos están acotados por $\frac{1}{n^2}$ .

Logaritmos: condensación y criterio de la integral

Las series con logaritmos, como $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ , están justo en la frontera donde fallan los criterios del cociente, de la raíz y de comparación simple. La condensación de Cauchy las resuelve: para términos positivos y decrecientes, $\sum a_n$ converge exactamente cuando converge $\sum 2^n a_{2^n}$ . Aquí la serie condensada tiene términos de aproximadamente $\frac{1.4427}{n}$ , un múltiplo de la serie armónica, así que la serie original diverge.

El criterio de la integral llega al mismo tipo de conclusión comparando la suma con $\int f(x)\,dx$ , donde $f(n) = a_n$ es positiva y decreciente. Ambas técnicas muestran con qué lentitud puede diverger una serie: las sumas parciales de $\sum \frac{1}{n \ln n}$ crecen como $\ln(\ln N)$ , que sigue por debajo de 4 incluso después de mil millones de términos.

Series alternadas y convergencia condicional

Cuando los signos se alternan, las cancelaciones ayudan. El criterio de Leibniz dice que, si los valores absolutos $b_n$ decrecen hacia cero, la serie converge. La serie armónica alternada $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ converge por este criterio, a $\ln 2$ , aunque $\sum \frac1n$ diverge.

Esa combinación se llama convergencia condicional. Si la serie de los valores absolutos también converge, como ocurre con $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , la convergencia es absoluta, que es más fuerte: las series absolutamente convergentes se pueden reordenar sin que cambie la suma, y las condicionalmente convergentes no. La calculadora indica qué tipo tienes.

Errores frecuentes

Concluir que una serie converge porque sus términos tienden a cero.
Tomar $L = 1$ en el criterio del cociente o de la raíz como un veredicto; significa que el criterio no es concluyente.
Usar un primer término equivocado en una suma geométrica cuando el índice empieza en 1 en lugar de en 0.
Aplicar el criterio de Leibniz sin comprobar que los valores absolutos decrecen.
Confundir la convergencia de la sucesión $a_n$ con la convergencia de la serie $\sum a_n$ .
Comparar en el sentido equivocado, por ejemplo acotando una serie por arriba con una divergente.

Consejos

Aplica primero el criterio del término general; resuelve al instante muchas series divergentes.
Recurre al criterio del cociente siempre que veas factoriales o $c^n$ .
Para funciones racionales de $n$ , compara los grados: la serie se comporta como $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ .
Usa la condensación o el criterio de la integral cuando aparezcan logaritmos.
En las series alternadas, estudia también la convergencia absoluta para poder decir de qué tipo es.
Calcula numéricamente las primeras sumas parciales para hacerte una idea de si se están estabilizando.

Preguntas frecuentes

¿Qué criterio de convergencia usa la calculadora?

Los prueba en orden: serie geométrica, criterio del término general, criterio de Leibniz y, para términos positivos, el criterio del cociente, el de la raíz, la comparación por paso al límite con una serie p, la condensación de Cauchy y el criterio de la integral. Se muestra el primer criterio concluyente.

¿Puede hallar la suma de la serie?

Da la suma exacta de las series geométricas, como −6/5 para Σ 3(−2/3)ⁿ desde n = 1. En las demás series solo decide la convergencia, porque la mayoría de las series convergentes no tienen una suma con expresión cerrada sencilla.

¿Por qué diverge la serie armónica si sus términos tienden a cero?

Los términos disminuyen demasiado despacio. Si se agrupan como 1/2, luego 1/3 + 1/4 > 1/2, luego 1/5 + … + 1/8 > 1/2, y así sucesivamente, se ve que las sumas parciales ganan siempre al menos 1/2, de modo que crecen sin cota.

¿Qué diferencia hay entre convergencia absoluta y condicional?

Una serie converge absolutamente si la suma de |aₙ| converge. Converge condicionalmente si solo converge gracias a la cancelación de signos, como la serie armónica alternada.

¿Cómo escribo factoriales y signos alternados?

Escribe n! para un factorial y (-1)^n o (-1)^(n+1) para signos alternados, por ejemplo (-1)^(n+1)/n o 2^n/n!. Usa log(n) para el logaritmo neperiano.

¿Influye el índice inicial en la convergencia?

No. Cambiar dónde empieza la suma añade o quita un número finito de términos, lo que cambia la suma pero nunca si converge. Sí importa en una suma geométrica, y con términos como 1/(n ln n), que no están definidos para n pequeños.

¿Qué pasa si ningún criterio funciona?

La calculadora enumera los criterios que ha probado e indica que ninguno ha sido concluyente. Nunca adivina. Los términos oscilantes como sin(n), cuyo límite no se puede determinar, también se indican con claridad.

¿Qué es una serie p?

Una serie de la forma Σ 1/nᵖ. Converge cuando p > 1 y diverge cuando p ≤ 1. Es la referencia habitual para los criterios de comparación, y Σ 1/n, con p = 1, es la serie armónica.

¿Por qué falla el criterio del cociente con 1/n²?

El cociente n²/(n + 1)² tiende a 1, que es el caso no concluyente. Lo mismo ocurre con todas las series p, y por eso la calculadora pasa a los criterios de comparación con ese tipo de términos.

Prueba la calculadora de convergencia de series

Escribe el término general de una serie y descubre si converge o diverge, con el criterio que lo decide explicado paso a paso.

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