Calculadora de integrales definidas

Por qué F(b) − F(a) da el área

Imagina una función área $A(t)$ que mide el área bajo $f$ desde $a$ hasta un punto móvil $t$. Si desplazas $t$ una cantidad diminuta $h$, el área añadida es una franja estrecha de altura aproximada $f(t)$ y anchura $h$, así que $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. Al dividir entre $h$ y hacerla tender a cero se ve que $A'(t) = f(t)$: la función área es una primitiva de $f$.

Dos primitivas cualesquiera solo difieren en una constante, así que $A(t) = F(t) + C$ para la primitiva $F$ que hayas encontrado. Como $A(a) = 0$, la constante es $-F(a)$, y el área completa es $A(b) = F(b) - F(a)$. Por eso la constante de integración nunca aparece en una integral definida: se cancela en la resta.

Área con signo y área absoluta

Cuando la gráfica baja del eje, la integral resta esa parte. En $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ el arco positivo y el negativo se cancelan exactamente, y el resultado es 0. Ese es el valor correcto de la integral, pero no es el área que sombrearías en una gráfica.

Para hallar el área total, localiza los ceros de la función dentro del intervalo, integra en cada tramo y suma los valores absolutos de los resultados. La calculadora admite abs(), así que al introducir abs(x-1) de 0 a 2 devuelve 1, el área conjunta de dos triángulos, mientras que x-1 en el mismo intervalo devuelve 0.

Integrales impropias: límites infinitos y asíntotas verticales

Una integral es impropia cuando un extremo es infinito o cuando el integrando no está acotado en algún punto del intervalo. Su valor se define entonces como un límite. Para $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$, la calculadora halla $F(x) = -\frac1x$, calcula el límite cuando $x \to \infty$, que es 0, resta $F(1) = -1$ e indica que la integral converge a 1.

La misma idea sirve para las asíntotas. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ converge a 2 porque $2\sqrt{x}$ tiene límite finito en 0, mientras que $\int_0^1 \frac1x\,dx$ diverge porque $\ln x$ tiende a $-\infty$. Los dos integrandos se disparan en cero; lo que decide el resultado es la rapidez con que lo hacen. Si la singularidad está en mitad del intervalo, hay que dividir la integral en ese punto y cada mitad debe converger por separado.

En toda la recta real, los dos extremos necesitan un límite. La calculadora evalúa $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ como $\arctan x$ desde $-\frac{\pi}{2}$ hasta $\frac{\pi}{2}$ y devuelve exactamente $\pi$.

Cuando no hay fórmula: integración numérica

Algunas funciones perfectamente corrientes tienen primitivas que no pueden escribirse con funciones elementales. La campana $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ y $\sqrt{1 + x^3}$ son ejemplos clásicos. Sus integrales definidas existen igualmente; simplemente hay que calcularlas de forma numérica.

En ese caso la calculadora usa la regla de Simpson adaptativa, que ajusta parábolas a trozos pequeños de la curva y subdivide allí donde la estimación aún no es precisa, con el objetivo de un error inferior a $10^{-10}$. Para $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ da aproximadamente 0.7468241328 y lo marca como aproximación numérica, para que nunca se confunda con un valor exacto.

Propiedades útiles que ahorran trabajo

Intercambiar los límites cambia el signo, así que $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Una integral sobre un intervalo de anchura cero vale cero. Para una función impar como $x^3$ o $\sin x$, la integral sobre un intervalo simétrico $[-a, a]$ es cero, y para una función par es el doble de la integral de 0 a $a$. Detectar la simetría antes de calcular puede convertir un problema engorroso en una respuesta de una línea.

Las integrales también son lineales: las constantes salen fuera y las sumas se separan en integrales distintas. Junto con la regla de división del intervalo, estas propiedades permiten partir una región complicada en trozos que se resuelven con facilidad.