Completar el cuadrado — Calculadora de forma canónica con pasos

Sobre la calculadora para completar el cuadrado

Completar el cuadrado convierte un polinomio como $2x^2 - 8x + 3$ en la forma $2(x - 2)^2 - 5$ . Esa segunda forma dice mucho más: muestra de un vistazo que el punto más bajo de la parábola está en $(2, -5)$ , que se abre hacia arriba y cuánto está estirada. Esta misma manipulación es la que permite deducir la fórmula general y llevar circunferencias y elipses a su forma estándar.

La calculadora admite cualquier coeficiente principal, incluidas fracciones y decimales como $0.5x^2 + 3x - 1$ . Si le das una expresión, devuelve la forma canónica y el vértice; si le das una ecuación igualada a $= 0$ o a otro valor, sigue hasta las soluciones exactas o explica por qué no hay soluciones reales cuando la parábola no corta el eje.

¿Qué es completar el cuadrado?

Un trinomio cuadrado perfecto es el que equivale al cuadrado de un binomio, como $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Su término independiente es siempre el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$ . Completar el cuadrado consiste en sumar y restar exactamente ese número para que una parte de la expresión se convierta en un cuadrado perfecto.

El resultado es la forma canónica, $a(x - h)^2 + k$ . Como un cuadrado nunca es negativo, el valor mínimo (si $a > 0$ ) o máximo (si $a < 0$ ) de la expresión es $k$ , y se alcanza cuando $x = h$ .

Cómo usar la calculadora para completar el cuadrado

Escribe una expresión cuadrática como 2x^2 - 8x + 3, o una ecuación como x^2 - 4x - 1 = 0.
Los coeficientes pueden ser enteros, fracciones o decimales.
Pulsa Completar el cuadrado. La calculadora identifica a, b y c, saca a factor común de los términos en x y suma y resta el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal.
Lee la forma canónica y el vértice. Si es una ecuación, continúa por el paso de la raíz cuadrada hasta las soluciones exactas.

Fórmulas

Cuadrado perfecto

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Forma canónica general

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Vértice

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Ejemplo resuelto: 2x² − 8x + 3

El ejemplo completa el cuadrado de $2x^2 - 8x + 3$ . Como $a = 2$ , el motor saca primero el 2 factor común de los términos en $x$ : $2(x^2 - 4x) + 3$ . La mitad de $-4$ es $-2$ y su cuadrado es 4.

Al sumar y restar 4 dentro del paréntesis queda $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ , así que la forma canónica es $2(x - 2)^2 - 5$ y el vértice es $(2, -5)$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

2(x - 2)^{2} - 5

Cómo hemos leído tu problema

Escribir la función cuadrática en forma canónica completando el cuadrado.

Solución paso a paso

Identificar a, b y c
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
Sacar factor común a = 2 en los términos con x
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Tomar la mitad del coeficiente lineal y elevarla al cuadrado
La mitad de -4 es -2; su cuadrado es 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Sumar y restar ese cuadrado dentro del paréntesis
Sumar 4 crea un trinomio cuadrado perfecto; restarlo mantiene el valor (la parte restada se multiplica por a = 2 al salir del paréntesis).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Escribir el cuadrado perfecto y agrupar las constantes
$2(x - 2)^{2} - 5$
Leer el vértice
En a(x − h)² + k el vértice es (h, k) = (2, -5); el eje de simetría es x = 2. Como a > 0 la parábola se abre hacia arriba y k es el valor mínimo.

Fórmulas utilizadas

Completar el cuadrado
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Vértice
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Forma canónica: 2(x - 2)^2 - 5. Vértice (2, -5).

Comprobación

Al desarrollar 2(x - 2)^2 - 5 se vuelve a obtener 2x^2 - 8x + 3.

Explicación detallada

¿Por qué la mitad del coeficiente, al cuadrado?

Al desarrollar $(x + p)^2$ se obtiene $x^2 + 2px + p^2$ . Comparando con $x^2 + bx$ , los términos centrales coinciden cuando $2p = b$ , es decir, $p = b/2$ , y la constante que falta es $p^2 = (b/2)^2$ . Geométricamente, $x^2 + bx$ es un cuadrado de lado $x$ más dos rectángulos de $x \times b/2$ ; el cuadradito de la esquina, de área $(b/2)^2$ , es lo que completa el cuadrado grande.

Cuando el coeficiente principal no es 1

Saca $a$ factor común solo de los términos en $x^2$ y en $x$ , dejando la constante fuera. Completa el cuadrado dentro del paréntesis y, al sacar el cuadrado restado, multiplícalo por $a$ . Olvidar esa multiplicación es el error más frecuente: en el ejemplo, el $-4$ de dentro del paréntesis se convierte en $-8$ fuera.

Si $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es un máximo. La calculadora saca el coeficiente negativo de la misma manera, así que los signos de dentro del paréntesis cambian.

Resolver ecuaciones completando el cuadrado

Para $x^2 - 4x - 1 = 0$ , completar el cuadrado da $(x - 2)^2 = 5$ . Al extraer la raíz cuadrada de los dos miembros, con ambos signos, se obtiene $x - 2 = \pm\sqrt5$ , así que $x = 2 \pm \sqrt5$ . Hacer los mismos pasos con letras en lugar de números produce la fórmula general.

Cuando el segundo miembro es negativo, como en $(x + 3)^2 = -4$ , que procede de $x^2 + 6x + 13 = 0$ , no hay solución real. La calculadora lo indica y da además el par complejo $-3 \pm 2i$ que se obtiene al admitir $\sqrt{-4} = 2i$ .

Leer la gráfica a partir de la forma canónica

La forma canónica describe la parábola como una transformación de $y = x^2$ . El valor $h$ desplaza la gráfica a la derecha (o a la izquierda si $h$ es negativo), $k$ la desplaza hacia arriba o hacia abajo, y $a$ la estira verticalmente y la invierte si es negativo. El eje de simetría es la recta vertical $x = h$ , de modo que los puntos situados a la misma distancia a cada lado de $h$ tienen la misma altura.

Esto agiliza mucho el esbozo. Para $2(x - 2)^2 - 5$ , dibuja el vértice $(2, -5)$ y avanza una unidad a cada lado: la altura sube $a \cdot 1^2 = 2$ , lo que da $(1, -3)$ y $(3, -3)$ . El recorrido sale inmediatamente, $y \ge -5$ , y por eso la forma canónica es el punto de partida natural para las preguntas de dominio y recorrido.

Errores frecuentes

Sumar $(b/2)^2$ sin volver a restarlo, lo que cambia la expresión.
Elevar al cuadrado $b$ en lugar de $b/2$ .
Olvidar multiplicar el cuadrado restado por $a$ cuando $a \ne 1$ .
Tomar solo la raíz cuadrada positiva al resolver una ecuación.
Leer el vértice de $a(x + 3)^2 + k$ como $x = 3$ ; el vértice está en $x = -3$ .

Consejos

Escribe $x - h$ de forma explícita: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , así que $h = -3$ .
Comprueba la forma canónica desarrollándola de nuevo hasta la forma estándar.
Usa fracciones en lugar de decimales cuando $b$ sea impar; la mitad de 5 es $\tfrac52$ .
Compara tu vértice con $h = -b/(2a)$ como comprobación rápida.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la forma canónica?

Un polinomio de segundo grado escrito como a por (x menos h) al cuadrado más k. El punto (h, k) es el vértice de la parábola, y a determina su orientación y su apertura.

¿Cómo se completa el cuadrado cuando a no es 1?

Saca a factor común de los términos en x al cuadrado y en x, completa el cuadrado dentro del paréntesis y multiplica por a la constante restada al sacarla fuera.

¿Es mejor completar el cuadrado que usar la fórmula general?

Ambos métodos dan las mismas raíces. Completar el cuadrado da además la forma canónica, útil para representar la gráfica, y es el método con el que se deduce la propia fórmula.

¿Qué hago si el coeficiente de x es impar?

Trabaja con fracciones. Para x al cuadrado más 5x, suma y resta 25/4 para obtener (x más 5/2) al cuadrado menos 25/4.

¿Completar el cuadrado puede dar soluciones complejas?

Sí. Si el cuadrado acaba igualado a un número negativo, no hay soluciones reales. La calculadora lo indica y da también el par de complejos conjugados de la forma a más o menos bi.

¿Cómo se usa completar el cuadrado con las circunferencias?

Completar el cuadrado por separado en x y en y convierte una ecuación como x al cuadrado más y al cuadrado menos 4x más 6y igual a 3 en la forma estándar de una circunferencia, que revela su centro y su radio.

Prueba la calculadora para completar el cuadrado

Escribe un polinomio de segundo grado y obtén la forma canónica, el vértice y las soluciones exactas.

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Calculadora para completar el cuadrado