Completar el cuadrado: guía paso a paso

La idea del método

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Al desarrollar $(x + h)^2$ se obtiene $x^2 + 2hx + h^2$: el término independiente es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$. Completar el cuadrado consiste en sumar exactamente esa constante para que una expresión se convierta en un cuadrado perfecto.

Por ejemplo, la mitad de 6 es 3 y $3^2 = 9$, así que $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Al desarrollar el miembro derecho se obtiene $x^2 + 6x + 9 - 9$, lo que lo confirma. Geométricamente, $x^2 + 6x$ es un cuadrado de $x$ por $x$ más dos franjas de $3$ por $x$, y la esquina que falta es un cuadrado de $3$ por $3$ de área 9.

El mismo patrón funciona con signo menos. La mitad de $-10$ es $-5$ y $(-5)^2 = 25$, así que $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. La constante que se suma siempre es positiva, porque es un cuadrado, mientras que el signo de dentro del paréntesis coincide con el de $b$. Tener separados estos dos hechos evita la mayoría de los errores en los pasos siguientes.

Resolver una ecuación de segundo grado completando el cuadrado

1. Si el coeficiente de $x^2$ no es 1, divide todos los términos entre él.
2. Pasa el término independiente al miembro derecho.
3. Suma $(b/2)^2$ a los dos miembros.
4. Escribe el miembro izquierdo como $(x + b/2)^2$ y simplifica el derecho.
5. Extrae la raíz cuadrada de los dos miembros, sin olvidar el $\pm$, y despeja $x$.

Cuando el coeficiente principal no es 1

La fórmula general coincide: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Con un coeficiente central impar las fracciones son inevitables, pero manejables. Para $x^2 + 5x - 1 = 0$, la mitad de 5 es $\frac{5}{2}$, así que $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ y $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Soluciones complejas

Si el miembro derecho resulta negativo, no hay soluciones reales, pero el método sigue dando las complejas.

Comprobación: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, y $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Forma canónica de una parábola

El uso más habitual de completar el cuadrado al representar funciones es pasar $y = ax^2 + bx + c$ a la forma canónica $y = a(x - h)^2 + k$, donde $(h, k)$ es el vértice. Como un cuadrado nunca es negativo, el vértice es el punto mínimo cuando $a > 0$ y el máximo cuando $a < 0$.

El error más frecuente en el ejemplo 4 es olvidar multiplicar el 9 que se resta por el $-2$ que se sacó como factor común. Desarrollar de nuevo tu forma canónica es una comprobación rápida.

El atajo $h = -\frac{b}{2a}$ da la misma abscisa del vértice; completar el cuadrado muestra de dónde sale esa fórmula. La calculadora de ecuaciones de segundo grado indica el vértice junto con las raíces.

Deducción de la fórmula general

Completar el cuadrado en la ecuación general $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$ produce la fórmula general, y por eso la fórmula funciona siempre.

El paso intermedio se obtiene sumando $\frac{b^2}{4a^2}$ a los dos miembros y escribiendo $-\frac{c}{a}$ como $-\frac{4ac}{4a^2}$. La guía sobre cómo resolver ecuaciones de segundo grado explica cuándo usar la fórmula, la factorización o este método.

Circunferencias y otras aplicaciones

Completar el cuadrado en $x$ y en $y$ transforma la ecuación general de una circunferencia en su forma centro-radio.

En cálculo, el mismo paso prepara integrales como $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$: escribir el denominador como $(x + 1)^2 + 4$ da $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. La calculadora de integrales usa este cambio de variable cuando procede.

Errores frecuentes

• Sumar $(b/2)^2$ solo en un miembro.
• Completar el cuadrado antes de dividir entre un coeficiente principal distinto de 1.
• Olvidar el $\pm$ al extraer la raíz cuadrada, con lo que se pierde una solución.
• Usar $b^2$ o $b/2$ en lugar de $(b/2)^2$.
• Leer mal el signo del vértice: $(x - 3)^2$ tiene $h = 3$, y $(x + 3)^2$ tiene $h = -3$.

Prueba tu propio ejemplo en la calculadora para completar el cuadrado, que muestra cada uno de los pasos anteriores.

Qué información da el cuadrado completado

Una vez escrita una función de segundo grado como $a(x - h)^2 + k$, se puede leer mucha información sin más cálculos. El vértice es $(h, k)$ y el eje de simetría es la recta vertical $x = h$. El recorrido se deduce directamente: si $a > 0$, el valor mínimo es $k$ y el recorrido es $[k, \infty)$; si $a < 0$, el valor máximo es $k$ y el recorrido es $(-\infty, k]$.

También se deduce el número de cortes con el eje x. Igualar $a(x - h)^2 + k = 0$ da $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Si $-\frac{k}{a}$ es positivo hay dos cortes, si es cero el vértice toca el eje, y si es negativo la parábola nunca corta el eje. En el ejemplo 3, $(x - 2)^2 = -3$ no tiene solución real, lo que concuerda con el vértice a altura 3 en una parábola abierta hacia arriba. En el ejemplo 4, $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ da $(x - 3)^2 = 4$, así que los cortes son $x = 1$ y $x = 5$.

Los problemas de optimización usan la misma idea. Si el beneficio al vender a un precio $p$ es $P = -2p^2 + 12p - 10$, en cientos de dólares, el ejemplo 4 muestra que el beneficio máximo es de 8 cientos de dólares con $p = 3$. No hace falta cálculo, porque el término al cuadrado solo puede hacer bajar el valor por debajo de la altura del vértice.

Ejercicios de práctica con soluciones

Intenta resolverlos antes de mirar las soluciones. Cada uno usa un paso de los ejemplos anteriores.

1. Resuelve $x^2 - 10x + 21 = 0$. Solución: $(x - 5)^2 = 4$, así que $x = 3$ o $x = 7$.
2. Resuelve $x^2 + 2x - 4 = 0$. Solución: $(x + 1)^2 = 5$, así que $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Escribe $y = x^2 + 8x + 10$ en forma canónica. Solución: $y = (x + 4)^2 - 6$, vértice $(-4, -6)$.
4. Escribe $y = 3x^2 - 6x + 1$ en forma canónica. Solución: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, vértice $(1, -2)$.
5. Halla el centro y el radio de $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Solución: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, centro $(-1, 4)$, radio 3.

Si una solución no coincide, desarrolla tu cuadrado completado y compáralo línea a línea con el original; la diferencia suele mostrar exactamente qué constante se sumó o restó mal.

Por qué merece la pena aprender el método

Teniendo la fórmula general, es lógico preguntarse por qué se sigue enseñando a completar el cuadrado. La respuesta es que se trata de una transformación, no solo de un truco para resolver. Reescribe una expresión de modo que la variable aparezca en un único lugar, dentro de un cuadrado. A partir de ahí la expresión es fácil de analizar: su valor mínimo o máximo, su simetría y sus ceros se ven de un vistazo.

Esta idea reaparece en toda la matemática. Las cónicas, como circunferencias, elipses e hipérbolas, se identifican completando el cuadrado en dos variables. En estadística, la densidad de la distribución normal contiene un cuadrado completado en su exponente, y deducir muchas de sus propiedades se apoya en la misma álgebra. En cálculo, las integrales con una expresión de segundo grado bajo una raíz o en un denominador se convierten en integrales inmediatas tras este paso. La física lo usa para hallar los puntos de equilibrio de las funciones de energía.

Practicarlo con ecuaciones sencillas desarrolla, por tanto, una destreza que los temas posteriores dan por supuesta. Si puedes resolver los ejemplos 1 a 5 sin apuntes, estás bien preparado para esos usos y para las preguntas de examen que piden mostrar el método en lugar de limitarse a dar las raíces.

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