Calculadora de pendiente

Q: ¿Qué significa una pendiente negativa?

Que la recta baja a medida que x aumenta. Una pendiente de -3/2 baja 3 unidades por cada 2 unidades hacia la derecha.

Q: ¿Cómo obtengo la ecuación de la recta?

Calcula la pendiente, usa después b = y_1 - m x_1 para hallar la ordenada en el origen y escribe y = mx + b.

Sobre la calculadora de pendiente

La pendiente de una recta mide cuánto sube o baja: la variación de $y$ dividida entre la variación de $x$ entre dos puntos cualesquiera. Una pendiente positiva sube hacia la derecha, una negativa baja, una pendiente cero corresponde a una recta horizontal y una recta vertical tiene pendiente indefinida.

Una vez conocida la pendiente $m$ , la ordenada en el origen $b$ se obtiene a partir de cualquiera de los puntos, y resulta la recta $y = mx + b$ .

¿Qué es la pendiente de una recta?

La pendiente es un único número que describe la inclinación y el sentido de una recta. Se define como el cociente entre el desplazamiento vertical y el horizontal: cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza hacia la derecha. Una pendiente de 2 significa que la recta sube 2 unidades por cada paso a la derecha, una pendiente de $-\frac32$ significa que baja 3 unidades por cada 2 hacia la derecha, y una pendiente de 0 indica que es horizontal.

Como una recta tiene la misma inclinación en todos sus puntos, dos puntos cualesquiera de ella dan la misma pendiente. Por eso la pendiente es la clave de la ecuación de la recta: si conoces $m$ y un punto, la recta queda determinada. En la vida diaria, la pendiente es una tasa de variación, como los kilómetros por hora en una gráfica distancia-tiempo o los euros por unidad en una gráfica de costes.

Cómo usar la calculadora de pendiente

Introduce las coordenadas del primer punto (x₁, y₁).
Introduce las coordenadas del segundo punto (x₂, y₂).
Pulsa Calcular la pendiente para ver la variación vertical, la horizontal, la pendiente simplificada y la ecuación de la recta.

Fórmulas

Pendiente

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Forma explícita (pendiente-ordenada en el origen)

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Ecuación punto-pendiente

y - y_1 = m(x - x_1)

Ejemplo resuelto: (2, 3) y (6, 11)

El ejemplo resuelto usa los puntos (2, 3) y (6, 11). La variación vertical es $11 - 3 = 8$ y la horizontal es $6 - 2 = 4$ , así que la pendiente es $\frac84 = 2$ . Con el primer punto, la ordenada en el origen es $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ , y la recta es $y = 2x - 1$ . La comprobación sustituye el segundo punto: $2 \cdot 6 - 1 = 11$ , como se esperaba.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

m = 2,\quad y = 2x - 1

Cómo hemos leído tu problema

Hallar la pendiente (tasa de variación) de la recta que pasa por dos puntos.

Solución paso a paso

Nombrar los puntos
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
Hallar la variación de y (desplazamiento vertical)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
Hallar la variación de x (desplazamiento horizontal)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Dividir el desplazamiento vertical entre el horizontal
$m = \frac{8}{4} = 2$
Hallar la ordenada en el origen con el primer punto
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Escribir la ecuación de la recta
$y = 2x - 1$

Fórmulas utilizadas

Pendiente
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Forma explícita
$y = mx + b$

La pendiente es 2: por cada aumento de 1 unidad en x, y varía en 2. La recta sube de izquierda a derecha.

Comprobación

Segundo punto: 2·(6) + -1 = 11 (se esperaba 11)

Explicación detallada

Pendientes negativas, fraccionarias e indefinidas

Para los puntos (1, 2) y (5, −4), la variación vertical es $-6$ y la horizontal es 4, así que la calculadora da $m = -\frac32$ y la recta $y = -\frac32 x + \frac72$ , conservando ambos valores como fracciones exactas en lugar de −1.5 y 3.5. Para (3, 1) y (3, 7), la variación horizontal es cero; no se puede dividir entre cero, así que la pendiente es indefinida y la calculadora da la recta vertical $x = 3$ en lugar de una ecuación $y = mx + b$ .

Tres formas de escribir la recta

La forma explícita $y = mx + b$ muestra de un vistazo la pendiente y la ordenada en el origen, y es la que esperan la mayoría de las herramientas de gráficas. La ecuación punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$ es más rápida de escribir cuando tienes un punto y la pendiente pero aún no has hallado la ordenada en el origen. La forma general $Ax + By = C$ con coeficientes enteros es la preferida en algunos cursos; a partir de $y = 2x - 1$ queda $2x - y = 1$ . Las tres describen el mismo conjunto de puntos.

La pendiente como tasa de variación

En los problemas aplicados, la pendiente lleva unidades: las de y divididas entre las de x. Si un taxi cobra 11 dólares por un trayecto de 6 km y 3 dólares por uno de 2 km, la pendiente de la recta que pasa por (2, 3) y (6, 11) es de 2 dólares por kilómetro, y la ordenada en el origen, −1, es el valor de la recta para una distancia cero. Vista así, la pendiente responde a la pregunta de cuánto cambia y cuando x aumenta en una unidad, que es la misma idea que la derivada extiende a las curvas.

Errores frecuentes

Restar en distinto orden arriba y abajo, por ejemplo $y_2 - y_1$ entre $x_1 - x_2$ .
Dividir el desplazamiento horizontal entre el vertical en lugar de al revés.
Decir que la pendiente de una recta vertical es 0; en realidad es indefinida.
Usar las coordenadas de un solo punto como si fueran las variaciones vertical y horizontal.
Simplificar mal $\frac{8}{4}$ u olvidar el signo menos de la variación horizontal cuando los valores de x disminuyen.

Consejos

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente; las perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es −1.
Deja la pendiente en forma de fracción para no redondear al calcular la ordenada en el origen.
Representa los dos puntos en la calculadora gráfica para comprobar que el signo tiene sentido.
Antes de calcular, imagina los puntos: si el segundo está más alto y más a la derecha, la pendiente tiene que ser positiva.
La pendiente de una recta perpendicular es la inversa cambiada de signo: una recta perpendicular a $y = 2x - 1$ tiene pendiente $-\frac12$ .

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la pendiente entre dos puntos?

Resta los valores de y, resta los valores de x en el mismo orden y divide. Para (2, 3) y (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

¿Qué significa una pendiente negativa?

Que la recta baja a medida que x aumenta. Una pendiente de $-\frac32$ baja 3 unidades por cada 2 unidades hacia la derecha.

¿Por qué la pendiente de una recta vertical es indefinida?

Los dos puntos tienen la misma x, así que la variación horizontal es 0 y la fórmula dividiría entre cero. En su lugar, la recta se escribe como $x = c$ .

¿Cómo obtengo la ecuación de la recta?

Calcula la pendiente, usa después $b = y_1 - m x_1$ para hallar la ordenada en el origen y escribe $y = mx + b$ .

¿Importa el orden de los puntos?

No. Al intercambiar los puntos cambia el signo de las dos diferencias, así que el cociente es el mismo.

¿Puedo introducir coordenadas decimales?

Sí. Los decimales se convierten en fracciones exactas para que la pendiente y la ordenada en el origen sean exactas.

¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal?

Cero. Los dos puntos tienen el mismo valor de y, así que la variación vertical es 0 y $\frac{0}{\text{desplazamiento horizontal}} = 0$ . La recta se escribe $y = c$ .

¿Cómo se halla la pendiente de una perpendicular?

Toma la inversa de la pendiente original y cámbiale el signo. Si $m = -\frac32$ , una recta perpendicular tiene pendiente $\frac23$ , y el producto de las dos pendientes es $-1$ .

¿Cómo sé si dos rectas son paralelas?

Compara sus pendientes. Dos rectas no verticales son paralelas exactamente cuando tienen la misma pendiente y distinta ordenada en el origen; $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 4$ no se cortan nunca.

Prueba la calculadora de pendiente

Introduce dos puntos y obtén la pendiente exacta y la ecuación de la recta paso a paso.

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