Cómo resolver cualquier triángulo, caso por caso

Qué significa resolver un triángulo

Todo triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. En general, si conoces tres de ellos, y al menos uno es un lado, el triángulo queda determinado y los otros tres se pueden calcular. Conocer solo los tres ángulos no basta, porque los triángulos semejantes de cualquier tamaño tienen los mismos ángulos; ese caso a veces se llama AAA y no tiene solución única.

Los datos conocidos se describen según el orden en que aparecen alrededor del triángulo. ALA significa dos ángulos y el lado comprendido entre ellos; LAL, dos lados y el ángulo comprendido. Las seis configuraciones posibles, y la herramienta para cada una, son:

• Triángulo rectángulo con otros dos datos cualesquiera: razones básicas y teorema de Pitágoras.
• AAL o ALA: suma de ángulos y después teorema del seno.
• LAL: teorema del coseno para el tercer lado y después los ángulos restantes.
• LLL: teorema del coseno para los ángulos.
• LLA: teorema del seno, comprobando si hay cero, uno o dos triángulos.
• AAA: solo la forma, sin un tamaño único.

Dibuja siempre el triángulo y rotula los datos antes de elegir un método. La mayoría de los errores se deben a emparejar un lado con el ángulo equivocado.

Triángulos rectángulos: seno, coseno y tangente

En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo $\theta$, las tres razones básicas relacionan el ángulo con los lados: el cateto opuesto, el cateto contiguo y la hipotenusa.

Para hallar un ángulo, usa una razón inversa. En el triángulo rectángulo de lados 3, 4, 5, el ángulo agudo menor mide $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$.

Dos ángulos y un lado (AAL, ALA)

Halla el tercer ángulo restando de $180^\circ$. Así tienes todos los ángulos y un lado, que forman una pareja completa para el teorema del seno:

Estos casos tienen siempre exactamente una solución, siempre que los dos ángulos dados sumen menos de $180^\circ$.

Dos lados y el ángulo comprendido (LAL)

Usa el teorema del coseno para hallar el lado opuesto al ángulo conocido. Después halla un segundo ángulo. Lo más seguro es elegir el ángulo opuesto al menor de los dos lados originales, porque tiene que ser agudo y el arcoseno lo da sin ambigüedad.

Tres lados (LLL)

Comprueba primero que los lados cumplen la desigualdad triangular: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Después usa la forma del coseno del teorema del coseno, empezando por el ángulo opuesto al lado más largo:

Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA)

Este es el caso ambiguo. Despeja el ángulo desconocido con el teorema del seno, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$, y analiza el resultado:

• Si $\sin B > 1$, no existe ningún triángulo.
• Si $\sin B = 1$, hay un triángulo rectángulo.
• Si $\sin B < 1$, prueba tanto $B$ como $180^\circ - B$. Cada valor que deje un tercer ángulo positivo da un triángulo válido.

Por ejemplo, $A = 30^\circ$, $a = 6$ y $b = 10$ dan $\sin B = \frac{5}{6}$, así que $B \approx 56.44^\circ$ o $123.56^\circ$. Los dos dejan margen para un tercer ángulo, así que hay dos triángulos. El artículo sobre el teorema del seno los resuelve por completo, junto con los casos sin triángulo y con un solo triángulo.

Ángulos de elevación y de depresión

Muchos problemas aplicados describen ángulos medidos desde la horizontal. Un ángulo de elevación se mide hacia arriba hasta un objeto; un ángulo de depresión, hacia abajo. Como las horizontales que pasan por el observador y por el objeto son paralelas, el ángulo de depresión de A a B es igual al ángulo de elevación de B a A.

Los problemas con dos observaciones, como avistar la parte superior de un edificio desde dos puntos del suelo, se resuelven combinando un triángulo rectángulo con uno oblicuángulo, a menudo aplicando el teorema del seno en la parte oblicuángula.

Lista de comprobación para cada respuesta

• Los tres ángulos suman $180^\circ$.
• El lado más largo está frente al ángulo mayor, y el más corto, frente al menor.
• Cada lado es menor que la suma de los otros dos.
• Al recalcular un lado con el otro teorema se obtiene el mismo valor, salvo redondeo.
• Las respuestas se redondean solo al final, con la precisión que pide el enunciado.

Una vez resuelto el triángulo, su área se obtiene con $\frac{1}{2}ab\sin C$ usando dos lados cualesquiera y el ángulo que forman. La calculadora del teorema del coseno resuelve todos los casos de triángulos oblicuángulos paso a paso, y la calculadora de distancia entre dos puntos se ocupa de los triángulos dados por coordenadas.

Redondeo y precisión

Los problemas de triángulos encadenan varios cálculos, así que pequeños errores de redondeo al principio pueden convertirse en diferencias visibles al final. Conserva toda la precisión de la calculadora en cada valor intermedio, ya sea guardando los resultados en memoria o anotando al menos cuatro cifras significativas. Redondea solo las respuestas finales, con la precisión que pide el enunciado: normalmente una o dos cifras decimales para los ángulos en grados y un número razonable de cifras significativas para las longitudes.

Por culpa del redondeo, los tres ángulos que des pueden sumar $179.9^\circ$ o $180.1^\circ$. Eso no es un error de método. Pero si la suma se desvía un grado entero o más, algo ha fallado, casi siempre un lado emparejado con el ángulo equivocado o una solución obtusa que se ha pasado por alto. Un segundo cálculo independiente, como hallar el último lado con los dos teoremas, es la forma más fiable de confirmar que la respuesta es correcta.

Preguntas frecuentes