Identidades trigonométricas: la lista esencial y cómo usarla

Identidades frente a ecuaciones

La igualdad $\sin x = \frac{1}{2}$ solo es cierta para ciertos ángulos, así que es algo que hay que resolver. La igualdad $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ es cierta para todo ángulo, así que es una identidad, algo que se utiliza. Las identidades son herramientas para reescribir una expresión de una forma más cómoda sin cambiar su valor.

Siempre puedes poner a prueba numéricamente una supuesta identidad. Si falla en un solo ángulo, no es una identidad. Si se cumple en varios ángulos sin relación entre sí, probablemente sea cierta, pero hace falta una demostración para estar seguro. Ese hábito numérico detecta muchos errores de signo y conviene usarlo mientras aprendes.

Las identidades básicas

Las identidades recíprocas y de cociente definen las otras cuatro razones a partir del seno y el coseno:

La identidad pitagórica, o identidad fundamental, procede de la ecuación de la circunferencia unidad, $x^2 + y^2 = 1$, con $x = \cos\theta$ e $y = \sin\theta$. Al dividirla entre $\cos^2 x$ o entre $\sin^2 x$ se obtienen otras dos versiones:

La simetría de la circunferencia unidad da las identidades de paridad, $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$ y $\tan(-x) = -\tan x$, y las de ángulos complementarios, como $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Estas últimas explican los nombres: el coseno es el seno del complementario. La guía de la circunferencia goniométrica muestra de dónde sale cada una.

Fórmulas de la suma y la resta de ángulos

Estas fórmulas expresan las razones trigonométricas de una suma o una resta de ángulos en función de los ángulos por separado. Son el origen de casi todas las demás identidades.

Fíjate en el cambio de signo de la fórmula del coseno: el coseno de una suma lleva un signo menos. Un error habitual es suponer que $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$. Probar con $A = B = \frac{\pi}{2}$ demuestra que falla: el miembro izquierdo es $\sin\pi = 0$, pero el derecho vale 2.

Del mismo modo, $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$.

Ángulo doble y reducción de potencias

Al hacer $B = A$ en las fórmulas de la suma se obtienen las identidades del ángulo doble. El coseno tiene tres formas equivalentes, que se obtienen sustituyendo $\sin^2$ o $\cos^2$ mediante la identidad pitagórica.

Despejando los cuadrados en las dos últimas formas se obtienen las identidades de reducción de potencias, que convierten cuadrados en primeras potencias de un ángulo doble. Son imprescindibles en cálculo, donde $\sin^2 x$ es difícil de integrar directamente.

Por ejemplo, $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Sustituir $x$ por $\frac{x}{2}$ en estas identidades da las fórmulas del ángulo mitad, como $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Cómo demostrar una identidad

Demostrar una identidad consiste en transformar un miembro, paso a paso, hasta convertirlo en el otro. No la trates como una ecuación haciendo lo mismo en los dos miembros, porque eso da por supuesto lo que intentas demostrar. Estas estrategias funcionan en la mayoría de los casos:

1. Empieza por el miembro más complicado; hay más que simplificar.
2. Escríbelo todo en función del seno y el coseno.
3. Busca patrones pitagóricos, como $1 - \cos^2 x$, y sustitúyelos.
4. Reúne fracciones con un denominador común, o separa una fracción en dos.
5. Factoriza, o multiplica por un conjugado como $1 + \sin x$, cuando aparezca una suma en un denominador.
6. Ten siempre a la vista el miembro al que quieres llegar, para que cada paso te acerque a él.

Una más breve combina dos familias: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.

Usar identidades para resolver ecuaciones

Las identidades suelen convertir una ecuación trigonométrica en una ecuación de segundo grado en una sola razón. Resuelve esa ecuación y usa después la circunferencia unidad para hallar todos los ángulos.

Evita dividir los dos miembros entre una razón trigonométrica, como $\sin x$, porque puedes perder las soluciones en las que vale cero. Pásalo todo a un miembro y factoriza.

Los pasos de factorización son los mismos que en las ecuaciones de segundo grado normales; consulta cómo resolver ecuaciones de segundo grado si necesitas un repaso.

Qué identidades memorizar

No hace falta memorizar cada fórmula por separado. Aprende la identidad pitagórica, las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y las definiciones de las otras cuatro razones. Todo lo demás se deduce en una o dos líneas: las fórmulas del ángulo doble, a partir de las de la suma con $B = A$; las otras formas pitagóricas, dividiendo; la reducción de potencias, despejando en la fórmula del coseno del ángulo doble; y las fórmulas de la resta, a partir de las de la suma usando las identidades de paridad.

Bajo la presión de un examen, saber deducir una fórmula es más fiable que recordarla, porque puedes ir comprobándola sobre la marcha. Además, muchos exámenes proporcionan un formulario, así que la verdadera destreza que se evalúa es elegir qué identidad usar, y eso solo se consigue practicando con problemas variados.

Errores frecuentes

• Escribir $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ o $\sin 2x = 2\sin x$.
• Equivocarse de signo en $\cos(A + B)$, que lleva un signo menos.
• Confundir $\sin^2 x$, que significa $(\sin x)^2$, con $\sin(x^2)$.
• Trabajar a la vez en los dos miembros de una identidad como si fuera una ecuación.
• Dividir una ecuación entre una razón trigonométrica y perder soluciones.

La calculadora de identidades trigonométricas comprueba si dos expresiones son idénticas y muestra un camino de simplificación, lo que es una buena forma de poner a prueba tus propias demostraciones.

Dónde reaparecen las identidades

Las identidades no son solo un ejercicio del tema de trigonometría. En cálculo, la derivada del seno se obtiene con la fórmula de la suma y dos límites, las integrales de potencias del seno y del coseno se basan en la reducción de potencias, y el cambio de variable trigonométrico usa $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ para eliminar raíces como $\sqrt{1 + x^2}$.

En física e ingeniería, sumar dos ondas de la misma frecuencia da otra onda de esa frecuencia, y la fórmula de la suma muestra exactamente cómo. Escribir $a\sin x + b\cos x$ como $R\sin(x + \varphi)$, con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, te da al instante la amplitud de la onda resultante. Por ejemplo, $3\sin x + 4\cos x$ tiene amplitud 5, así que su valor máximo es 5 y el mínimo es $-5$. Desarrollar $5\sin(x + \varphi)$ con la fórmula de la suma e igualar coeficientes da $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ y $\sin\varphi = \frac{4}{5}$.

El procesamiento de señales, las rotaciones en gráficos por ordenador y los teoremas que se usan para resolver triángulos se apoyan en el mismo pequeño conjunto de fórmulas, y por eso aprenderlas bien compensa durante años, mucho después de terminar el tema de trigonometría.

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