Calculadora de identidades trigonométricas

La estrategia de senos y cosenos

Toda función trigonométrica puede escribirse en función del seno y el coseno, así que pasar todo a esas dos funciones pone ambos miembros de una identidad en un lenguaje común. La tangente, la cotangente, la secante y la cosecante se convierten en fracciones, y el problema pasa a tratar de fracciones algebraicas en $\sin x$ y $\cos x$.

Una vez que ambos miembros son fracciones, restarlos y reunirlos con denominador común convierte la identidad en una sola afirmación: cierto numerador tiene que valer cero. No hace falta estudiar más los denominadores, porque solo registran dónde no estaban definidas las expresiones originales.

El último obstáculo es que $\sin x$ y $\cos x$ no son independientes; están ligados por $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Sustituir cada potencia par del coseno por potencias de $1 - \sin^2 x$ elimina ese vínculo de las potencias pares. Tras agrupar los términos semejantes, una identidad verdadera no deja nada. Por eso el método siempre termina con una respuesta clara para las expresiones que admite, a diferencia del enfoque de ensayo y error que consiste en elegir un miembro e irlo transformando paso a paso.

Ángulos múltiplos y desplazamientos

Los ángulos como $2x$ y $3x$ se desarrollan primero en funciones del propio $x$. Las fórmulas del ángulo doble dan $\sin 2x$ y $\cos 2x$, y el uso repetido de las fórmulas de la suma da $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. La calculadora verifica esa identidad, junto con $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, con exactamente el mismo proceso que cualquier otra entrada.

Los desplazamientos por un múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ se tratan con las reglas de ángulos complementarios y de cuarto de vuelta. En general, la calculadora admite cualquier ángulo de la forma $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ con $k$ y $m$ enteros. Los ángulos mitad como $\frac{x}{2}$ y los desplazamientos arbitrarios como $x + 1$ no pueden reducirse a polinomios en $\sin x$ y $\cos x$, así que la calculadora los rechaza con una explicación en lugar de dar una demostración poco fiable.

La calculadora trabaja con una sola variable. Una fórmula de la suma como $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ tiene dos ángulos independientes y queda fuera de su alcance; lo indicará en lugar de intentarlo.

Refutar una igualdad

Si el numerador no se reduce a cero, la igualdad no es una identidad. Para concretarlo, la calculadora evalúa ambos miembros en un ángulo de muestra y muestra que son distintos. Para el error habitual $\sin 2x = 2\sin x$, indica que en $x = 30°$ el primer miembro vale aproximadamente $0.866$, mientras que el segundo vale $1$.

Un solo contraejemplo basta para refutar una identidad, pero ningún número de ejemplos que coincidan puede demostrarla. Dos expresiones pueden coincidir en muchos ángulos por casualidad. Por eso la demostración de la calculadora es algebraica, y por eso comprobar algunos valores en una gráfica sirve como control, pero no sustituye a una demostración.

Simplificar expresiones

Sin signo igual, la calculadora reescribe la expresión en senos y cosenos, la reúne en una sola fracción, usa la identidad pitagórica y cancela los factores comunes. Después compara el resultado con formas conocidas. Para $\tan x + \cot x$, la fracción $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ se reduce a $\frac{1}{\sin x\cos x}$, que reconoce como $\sec x\csc x$.

En trigonometría casi nunca hay una única forma simplificada correcta. $\sec x\csc x$, $\frac{1}{\sin x\cos x}$ y $\frac{2}{\sin 2x}$ son todas equivalentes. La calculadora elige una forma compacta habitual, y los pasos muestran las fracciones intermedias para que puedas detenerte en la versión que pida tu curso.

Escribir una demostración a mano

Muchos profesores exigen transformar un miembro en el otro en lugar de restar los miembros, porque trabajar en ambos a la vez puede ocultar pasos no válidos, como elevar al cuadrado. Los pasos de la calculadora se traducen directamente a ese estilo. Empieza por el miembro más complicado, reescríbelo en senos y cosenos, reúne las fracciones, aplica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ en el sentido que convenga y simplifica hasta que coincida con el otro miembro.

Entre los recursos útiles están multiplicar por el conjugado, como al demostrar $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$, factorizar una diferencia de cuadrados, como en $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$, y separar una fracción en varios términos. La calculadora confirma que esas dos identidades son ciertas, así que puedes centrarte en presentar el razonamiento con claridad.