El teorema del seno, incluido el caso ambiguo

La fórmula y el convenio de notación

Nombra los ángulos de un triángulo $A$, $B$ y $C$, y llama $a$, $b$ y $c$, respectivamente, al lado opuesto a cada uno. El lado opuesto a un ángulo es el que no lo toca. Con ese convenio, el teorema del seno afirma:

Aquí $R$ es el radio de la circunferencia que pasa por los tres vértices, llamada circunferencia circunscrita. Nunca se usan más de dos de las tres fracciones a la vez, así que el teorema es en realidad una proporción entre un lado, su ángulo opuesto, otro lado y el ángulo opuesto a este. También puede escribirse invertido, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$, que es más cómodo cuando la incógnita es un ángulo.

El teorema sirve para cualquier triángulo, no solo para los rectángulos, y por eso forma parte de la llamada trigonometría de triángulos oblicuángulos. En un triángulo rectángulo con $C = 90^\circ$ se reduce a la conocida $\sin A = \frac{a}{c}$, porque $\sin 90^\circ = 1$.

Por qué se cumple el teorema del seno

Traza la perpendicular desde el vértice $C$ hasta el lado $c$ y llama $h$ a su longitud. Así el triángulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. En el que contiene el ángulo $A$, la hipotenusa es $b$, así que $h = b\sin A$. En el que contiene el ángulo $B$, la hipotenusa es $a$, así que $h = a\sin B$.

Las dos expresiones valen la misma altura, así que $b\sin A = a\sin B$. Dividiendo los dos miembros entre $\sin A\sin B$ se obtiene $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Repitiendo el razonamiento con la altura desde otro vértice aparece el lado $c$. Si el ángulo $A$ es obtuso, el pie de la altura cae fuera del triángulo, pero se cumplen las mismas igualdades porque $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

La misma altura da la fórmula del área. El área es la mitad de la base por la altura, así que con base $c$ y altura $b\sin A$:

Por ejemplo, un triángulo con lados de 8 y 11 que forman un ángulo de $50^\circ$ tiene un área de $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ unidades cuadradas.

Cuándo usarlo: casos AAL y ALA

El teorema del seno necesita al menos una pareja completa: un lado junto con su ángulo opuesto. Si conoces dos ángulos, conoces el tercero, porque los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$. Por tanto, cualquier problema que dé dos ángulos y un lado puede resolverse con el teorema del seno. Estos casos se llaman AAL (ángulo, ángulo, lado) y ALA (ángulo, lado, ángulo).

Usa en todos los cálculos el lado dado y no un lado que hayas calculado y redondeado. Así evitas que se acumulen los errores de redondeo.

El caso ambiguo (LLA)

Cuando conoces dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, los datos pueden no describir ningún triángulo, describir exactamente uno o describir dos triángulos distintos. La razón es que el seno de un ángulo agudo y el de su suplementario son iguales, así que al resolver $\sin B = k$ aparecen dos ángulos candidatos, $B$ y $180^\circ - B$, y ambos pueden ser válidos.

Supón que el ángulo $A$ es agudo, que $a$ es el lado opuesto a él y que $b$ es el otro lado conocido. Calcula la altura $h = b\sin A$. Entonces:

• Si $a < h$, el lado es demasiado corto para llegar a la base: ningún triángulo.
• Si $a = h$, llega justo: un triángulo rectángulo.
• Si $h < a < b$, puede girar hasta dos posiciones: dos triángulos.
• Si $a \ge b$, solo sirve una posición: un triángulo.

Si $A$ es obtuso, hay un triángulo cuando $a > b$ y ninguno en caso contrario, porque el lado opuesto al ángulo obtuso tiene que ser el más largo.

Un problema de topografía

Los topógrafos usan el teorema del seno para medir distancias que no pueden recorrer a pie. Dos puntos $P$ y $Q$ de una orilla de un río están separados 100 m. En la orilla opuesta hay un árbol $T$. El ángulo en $P$ entre la orilla y la visual al árbol es de $52^\circ$, y en $Q$ es de $71^\circ$.

La misma idea de triangulación, repetida en grandes redes de triángulos, se utilizó para cartografiar países enteros antes de que existiera el posicionamiento por satélite, y sigue siendo la base de cómo los receptores GPS y las redes de telefonía móvil estiman una posición a partir de ángulos y distancias.

¿Teorema del seno o teorema del coseno?

Fíjate en los datos. Si tienes un lado y su ángulo opuesto, más otro dato, usa el teorema del seno. Si tienes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL), o los tres lados (LLL), no dispones de ninguna pareja completa, así que empieza por el teorema del coseno. Tras aplicar una vez el teorema del coseno normalmente tendrás una pareja y el teorema del seno podrá terminar el trabajo, aunque es más seguro hallar primero el ángulo mayor con el teorema del coseno para evitar la ambigüedad del arcoseno.

El proceso de decisión completo, caso por caso, se expone en nuestra guía sobre cómo resolver triángulos. En cuanto a los valores de los ángulos, la circunferencia goniométrica explica por qué $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$, que es el origen del caso ambiguo.

Errores frecuentes

• Emparejar un lado con un ángulo que no es su opuesto. Dibuja y rotula primero el triángulo.
• Olvidar la segunda solución, $180^\circ - B$, en el caso LLA.
• Aceptar una segunda solución con la que los ángulos suman más de $180^\circ$.
• Usar la calculadora en modo radianes con ángulos en grados.
• Redondear demasiado los ángulos intermedios, lo que puede alterar apreciablemente los lados finales.

Una prueba rápida de verosimilitud detecta la mayoría de los errores: el lado más largo debe estar frente al ángulo mayor, y el más corto, frente al menor. La calculadora del teorema del coseno resuelve cualquier triángulo a partir de tres datos conocidos e indica las dos soluciones en el caso ambiguo, así que puedes comprobar tu trabajo.

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