La circunferencia unidad: radianes, ángulos de referencia y razones trigonométricas exactas

Qué es la circunferencia unidad

La circunferencia unidad, o goniométrica, es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen, de ecuación $x^2 + y^2 = 1$. Los ángulos se miden desde el semieje x positivo, en sentido antihorario los positivos y en sentido horario los negativos. El lado donde empieza un ángulo se llama lado inicial y el lado donde termina, lado final.

Para cualquier ángulo $\theta$, el lado final corta la circunferencia en un único punto. La definición que hace tan útil la circunferencia unidad es que ese punto tiene coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$. La tangente es el cociente de ambas:

Para ángulos agudos, esto coincide con las definiciones en el triángulo rectángulo que quizá ya conozcas. Traza una perpendicular desde el punto al eje x y obtendrás un triángulo rectángulo de hipotenusa 1, cateto contiguo $x$ y cateto opuesto $y$. Así, $\cos\theta = \frac{x}{1}$ y $\sin\theta = \frac{y}{1}$. La circunferencia unidad extiende esas definiciones a cualquier ángulo, incluidos los obtusos, los negativos y los muy grandes.

Grados y radianes

Una vuelta completa mide $360^\circ$, es decir, $2\pi$ radianes. Un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio. En la circunferencia unidad, cuyo radio es 1, la medida en radianes de un ángulo es exactamente la longitud del arco que abarca; por eso los radianes son la unidad natural en el cálculo.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• $\frac{7\pi}{4}$ radianes $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Un radián equivale aproximadamente a $57.3^\circ$.

Los ángulos notables del primer cuadrante

Tres ángulos tienen valores exactos que proceden de dos triángulos conocidos. El ángulo de $45^\circ$ procede de un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 1, cuyos catetos miden ambos $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Los ángulos de $30^\circ$ y $60^\circ$ proceden de la mitad de un triángulo equilátero de lado 1, cuyos catetos miden $\frac{1}{2}$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: punto $(1, 0)$, así que $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: punto $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, así que $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: punto $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, así que $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: punto $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, así que $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: punto $(0, 1)$, así que $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ y $\tan\frac{\pi}{2}$ no está definida.

Un patrón ayuda a recordarlos: los senos de $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ son $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$, y los cosenos son la misma lista en orden inverso. Además, todos los puntos cumplen $x^2 + y^2 = 1$; por ejemplo, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Ángulos de referencia y los demás cuadrantes

No hace falta memorizar por separado los dieciséis puntos habituales. Todo ángulo tiene un ángulo de referencia: el ángulo agudo que forma su lado final con el eje x. Las coordenadas del ángulo tienen el mismo valor absoluto que las de su ángulo de referencia, y solo cambian los signos según el cuadrante.

• Cuadrante I (de $0$ a $\frac{\pi}{2}$): $x$ e $y$ positivas, así que las tres razones son positivas.
• Cuadrante II (de $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$): $x$ negativa, $y$ positiva, así que solo el seno es positivo.
• Cuadrante III (de $\pi$ a $\frac{3\pi}{2}$): ambas negativas, así que solo la tangente es positiva.
• Cuadrante IV (de $\frac{3\pi}{2}$ a $2\pi$): $x$ positiva, $y$ negativa, así que solo el coseno es positivo.

Del mismo modo, $\frac{3\pi}{4}$ tiene ángulo de referencia $\frac{\pi}{4}$ en el cuadrante II, lo que da el punto $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ y $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

Ángulos negativos y ángulos de más de una vuelta

Sumar o restar una vuelta completa, $2\pi$, lleva al mismo punto, así que el seno y el coseno se repiten cada $2\pi$. Los ángulos que comparten lado final se llaman coterminales. Para evaluar un ángulo grande, resta múltiplos de $2\pi$ hasta que quede entre 0 y $2\pi$; para un ángulo negativo, suma múltiplos de $2\pi$.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$, así que tiene el mismo punto que $\frac{\pi}{4}$: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ es coterminal con $\frac{11\pi}{6}$, así que $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, así que $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

La simetría respecto del eje x muestra además dos reglas: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, así que el coseno es una función par, y $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, así que el seno es impar. La tangente tiene un periodo más corto, $\pi$, porque los puntos de $\theta$ y $\theta + \pi$ son diametralmente opuestos y dan el mismo cociente $\frac{y}{x}$.

La identidad fundamental y el cálculo de las demás razones

Como todos los puntos de la circunferencia cumplen $x^2 + y^2 = 1$, todos los ángulos cumplen la identidad más importante de la trigonometría:

El cuadrante es lo que decide el signo; la identidad por sí sola solo da el valor absoluto. La guía de identidades trigonométricas construye muchas más identidades a partir de esta.

Resolver ecuaciones trigonométricas básicas con la circunferencia

Para resolver una ecuación como $\sin\theta = \frac{1}{2}$ con $0 \le \theta < 2\pi$, busca todos los puntos de la circunferencia cuya ordenada sea $\frac{1}{2}$. Hay dos: uno en el cuadrante I, en $\frac{\pi}{6}$, y otro en el cuadrante II, en $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Del mismo modo, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ requiere puntos de abscisa $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, que están en $\frac{3\pi}{4}$, en el cuadrante II, y en $\frac{5\pi}{4}$, en el cuadrante III. Si el enunciado pide todas las soluciones, suma $2\pi k$ para cualquier entero $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ o $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

El arcoseno o el arcocoseno de la calculadora devuelven una sola respuesta. La circunferencia unidad te muestra dónde está la segunda solución, algo que la calculadora nunca hace.

Cómo aprenderla de forma eficiente

Memorizar dieciséis puntos como datos sueltos es lento y frágil. Es mejor aprender bien tres cosas: los tres puntos del primer cuadrante para $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ y $\frac{\pi}{3}$; cómo hallar un ángulo de referencia; y qué signos corresponden a cada cuadrante. Con eso, cualquier ángulo notable se resuelve en unos segundos.

Practica dibujando la circunferencia de memoria una vez al día durante una semana, rotulando los ángulos en grados y en radianes. Después ponte a prueba con ángulos al azar, incluidos los negativos y los mayores que $2\pi$. La calculadora de la circunferencia goniométrica da los valores exactos y el ángulo de referencia de cualquier entrada, así que puedes comprobar tus respuestas al instante. Temas posteriores, como el teorema del seno y el cálculo con funciones trigonométricas, dan por supuesta esta soltura.

Errores frecuentes

• Intercambiar las coordenadas: la abscisa es el coseno y la ordenada es el seno.
• Usar la calculadora en modo grados para una pregunta en radianes, o al revés.
• Medir el ángulo de referencia desde el eje y en lugar del eje x.
• Dar una sola solución a una ecuación como $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
• Olvidar que la tangente no está definida donde el coseno vale cero, en $\frac{\pi}{2}$ y en $\frac{3\pi}{2}$.

De la circunferencia a las gráficas del seno y del coseno

Imagina un punto que recorre la circunferencia unidad en sentido antihorario a velocidad constante. Su altura sobre el eje x sube de 0 a 1 durante el primer cuarto de vuelta, vuelve a 0 a media vuelta, baja hasta $-1$ a los tres cuartos y regresa a 0 tras una vuelta completa. Representar esa altura frente al ángulo produce la conocida onda de $y = \sin x$. Si se representa en cambio la posición horizontal, se obtiene $y = \cos x$, la misma onda desplazada un cuarto de vuelta hacia la izquierda.

Todo lo relativo a esas gráficas puede leerse en la circunferencia. Su recorrido es $[-1, 1]$ porque las coordenadas de un punto de una circunferencia de radio 1 nunca superan 1 en valor absoluto. Su periodo es $2\pi$ porque una vuelta completa devuelve el punto a su posición inicial. Los ceros del seno están en los múltiplos de $\pi$, donde el punto cruza el eje x, y los del coseno en los múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$, donde cruza el eje y. Ver las gráficas como el registro de un movimiento circular explica también por qué las funciones trigonométricas modelizan las mareas, las ondas sonoras, la corriente alterna y cualquier fenómeno que se repita en ciclos.

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