Circunferencia goniométrica — Valores exactos de seno, coseno y tangente

Sobre la calculadora de la circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica, también llamada círculo unitario, convierte la trigonometría en coordenadas. Cada ángulo corresponde a un punto de una circunferencia de radio 1, y el coseno y el seno del ángulo son simplemente las coordenadas $x$ e $y$ de ese punto. Memorizar unos pocos puntos notables y usar después la simetría da valores exactos para docenas de ángulos sin calculadora.

Esta calculadora hace ese razonamiento por ti. Pasa el ángulo de grados a radianes o al revés, lo reduce a una vuelta, halla el cuadrante y el ángulo de referencia y lee valores exactos como $\frac{\sqrt3}{2}$ para los ángulos notables. Para los demás ángulos da decimales precisos. También indica la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente, y avisa cuando alguna no está definida.

¿Qué es la circunferencia goniométrica?

La circunferencia goniométrica es la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ , con centro en el origen y radio 1. Un ángulo $\theta$ se mide desde el semieje $x$ positivo, en sentido antihorario si es positivo y en sentido horario si es negativo. El punto en el que su lado final corta la circunferencia es $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Como ese punto está sobre la circunferencia, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ para todo ángulo: es la identidad pitagórica. La tangente es el cociente $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , la pendiente del lado final, y las razones recíprocas son $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ y $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

Cómo usar la calculadora de la circunferencia goniométrica

Introduce el ángulo, por ejemplo 150, -30 o 5pi/4.
Elige grados o radianes.
Pulsa Calcular los valores.
Lee el cuadrante, el ángulo de referencia y las coordenadas exactas.
Usa los valores de la tangente y de las razones recíprocas que aparecen debajo de las coordenadas.

Fórmulas

Punto de la circunferencia

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

De grados a radianes

\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grados}} \cdot \frac{\pi}{180}

Identidad pitagórica

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Ejemplo resuelto: θ = 150°

El ejemplo usa $\theta = 150°$ . El ángulo está en el segundo cuadrante, donde $x$ es negativa e $y$ es positiva, y su ángulo de referencia es $180° - 150° = 30°$ .

El punto correspondiente a $30°$ es $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . Al aplicar los signos del segundo cuadrante se obtiene $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , y al dividir el seno entre el coseno, $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Cómo hemos leído tu problema

Valores en la circunferencia goniométrica para 150°

\theta = 150^\circ

Solución paso a paso

Pasar de grados a radianes (multiplicar por π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Situar el lado final: en el segundo cuadrante
En el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno negativo (regla de los signos por cuadrantes).
Ángulo de referencia (ángulo agudo con el eje x)
$\theta_{\text{ref}} = 30^\circ$
Leer las coordenadas exactas a partir del ángulo de referencia y aplicar los signos del cuadrante
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Tangente = seno ÷ coseno
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Razones recíprocas
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Fórmulas utilizadas

Punto de la circunferencia goniométrica
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Tangente y razones recíprocas
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Grados y radianes
$\text{rad} = \text{grados} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) termina en el segundo cuadrante con un ángulo de referencia de 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Comprobación

cos²θ + sin²θ = 1 (debe ser igual a 1).

Explicación detallada

Ángulos notables

Tres ángulos agudos tienen valores exactos sencillos. En $30°$ el punto es $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , en $45°$ es $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ y en $60°$ es $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Proceden de los triángulos de 30-60-90 y 45-45-90 grados. Junto con los ángulos de los ejes, $0°$ , $90°$ , $180°$ y $270°$ , generan los conocidos dieciséis puntos de la circunferencia goniométrica.

Ángulos de referencia y signos por cuadrantes

Todo ángulo tiene un ángulo de referencia: el ángulo agudo que forma su lado final con el eje $x$ . Las coordenadas del ángulo tienen el mismo valor absoluto que las de su ángulo de referencia; solo cambian los signos según el cuadrante. En el primer cuadrante ambas son positivas; en el segundo solo es positivo el seno; en el tercero solo la tangente, y en el cuarto solo el coseno. Así, $\frac{5\pi}{4}$ , que equivale a $225°$ en el tercer cuadrante con ángulo de referencia $45°$ , da $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Los ángulos mayores que una vuelta completa o negativos se reducen primero sumando o restando $360°$ . La calculadora reduce $765°$ a $45°$ y trata $-30°$ como $330°$ en el cuarto cuadrante, donde el punto es $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

Valores no definidos y ángulos no notables

La tangente y la secante dividen entre el coseno, así que no están definidas cuando el lado final es vertical, en $90°$ y $270°$ . La cotangente y la cosecante dividen entre el seno y no están definidas en $0°$ y $180°$ . La calculadora indica estos casos en lugar de mostrar un número sin sentido.

La mayoría de los ángulos, como $20°$ , no tienen una expresión sencilla con radicales. Para ellos, la calculadora da valores decimales, sin dejar de usar el cuadrante y el ángulo de referencia para que veas por qué salen esos signos.

Errores frecuentes

Confundir las coordenadas: el coseno es la coordenada $x$ y el seno, la coordenada $y$ .
Usar el modo grados para un ángulo escrito con $\pi$ , o el modo radianes para un ángulo en grados.
Medir el ángulo de referencia desde el eje $y$ en lugar del eje $x$ .
Aplicar el signo de otro cuadrante; recuerda qué razones son positivas en cada uno.
Escribir $\tan 90°$ como un número muy grande en lugar de indicar que no está definida.

Consejos

Aprende los valores de $30°$ , $45°$ y $60°$ ; todo lo demás se deduce por simetría.
Cuenta en múltiplos de $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{\pi}{4}$ para situar rápidamente los ángulos en radianes.
Racionaliza cuando haga falta: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Comprueba los resultados con $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Usa la calculadora de identidades trigonométricas para demostrar relaciones entre estas razones.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son las coordenadas de un punto de la circunferencia goniométrica?

Para un ángulo θ, el punto es (cos θ, sin θ). La coordenada x es el coseno y la coordenada y es el seno.

¿Cómo se halla el ángulo de referencia?

Reduce el ángulo a un valor entre 0° y 360° y mide el ángulo agudo con el eje x: θ en el primer cuadrante, 180° − θ en el segundo, θ − 180° en el tercero y 360° − θ en el cuarto.

¿Puedo introducir ángulos en radianes?

Sí. Elige radianes y escribe expresiones como pi/3 o 5pi/4. La calculadora pasa de radianes a grados en los pasos.

¿Por qué no está definida tan 90°?

La tangente es el seno dividido entre el coseno, y cos 90° = 0. La división entre cero no está definida, así que tan 90° y sec 90° no tienen valor.

¿La calculadora admite ángulos negativos y mayores de 360°?

Sí. Los reduce a un ángulo equivalente dentro de una vuelta. Por ejemplo, 765° se reduce a 45° y −30° se trata como 330°.

¿Qué pasa con los ángulos que no son notables?

Para ángulos como 20° no hay una forma exacta sencilla, así que la calculadora muestra valores decimales y sigue explicando el cuadrante y el ángulo de referencia.

¿Qué razones trigonométricas son positivas en cada cuadrante?

Todas son positivas en el primer cuadrante; el seno y la cosecante, en el segundo; la tangente y la cotangente, en el tercero, y el coseno y la secante, en el cuarto.

¿Cómo se recuerdan los signos por cuadrantes?

Recorre los cuadrantes en sentido antihorario desde el primero: en el primero todas las razones son positivas; en el segundo, el seno; en el tercero, la tangente, y en el cuarto, el coseno. La calculadora recuerda esta regla en el paso del cuadrante para que relaciones cada signo con su cuadrante.

Prueba la calculadora de la circunferencia goniométrica

Introduce un ángulo y obtén su punto, sus razones trigonométricas exactas y su ángulo de referencia.

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Calculadora de la circunferencia goniométrica